第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质及其应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第2课时　等差数列的性质及其应用 学习目标 素养要求 1.理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项． 2．掌握等差数列的增减性并能运用等差数列的性质解决问题． 1.借助等差中项的学习，提升数学抽象的核心素养． 2．通过等差数列性质的探究性应用，培养逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等差数列与一次函数的关系 [问题]　给出等差数列{an}：1，5，9，13，…，其通项公式是什么？从函数的角度看，an是关于n的什么函数？其图象有什么特点？该数列的增减性如何？ 答：通项公式为an＝4n－3；an是关于n的一次函数，其图象是直线y＝4x－3上的一群孤立的点，显然是递增函数． ►知识填空 从函数角度研究等差数列 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d>0时，{an}为递增数列，如图甲所示． 当d<0时，{an}为递减数列，如图乙所示． 当d＝0时，{an}为常数列，如图丙所示． 知识点二　等差中项 [问题 1]　若三个数a，b，c成等差数列，那么它们之间的关系应如何表示？ 答：b－a＝c－b，即2b＝a＋c. [问题 2]　等差数列中的任意连续三项之间的关系？ 答：2an＝an－1＋an＋1. ►知识填空 等差中项 1．定义 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．并且A＝． 2．结论 在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项． 知识点三　等差数列项的性质 ►知识填空 等差数列项的性质 1．等差数列的项的对称性：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 2．项的个数相同的前提下，项数和相等，对应项之和相等，即在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则_am＋an＝ap＋aq，特别地，若m＋n＝2t，则am＋an＝2at． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个实数都有等差中项且唯一．(　　) (2)在等差数列的通项公式中，an是关于n的一次函数．(　　) (3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　) (4)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项仍构成等差数列．(　　) 提示：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　) A．12　　　　　　　　　B．16 C．20 D．24 解析：选B　在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16. 3．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________． 解析：设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－6， 所以x1，x2的等差中项为A＝＝－3. 答案：－3 4．已知{an}为等差数列，若a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，则a5＝________． 解析：由a2＝2a3＋1和a4＝2a3＋7两式相减得d＝3，故a2＝2(a2＋3)＋1，解得a2＝－7. 故a5 ＝a2＋3d＝－7＋9＝2. 答案：2 题型一　等差中项及其应用 [例 1]　(1)若3，x，y，z，12成等差数列，则x＋y＋z＝________． (2)一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数． 解析：(1)由等差中项的定义可知x＋z＝3＋12＝2y，即y＝，所以x＋y＋z＝2y＋y＝3y＝. 答案： (2)设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有 解得 所以所求三个数分别是1，3，5或5，3，1. 三个数或四个数成等差数列的设法 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时， 方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解． 方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.　　 　若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． 解：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得3m＋3n＝18， 即m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为＝3. 题型二　等差数列性质的应用 [例 2]　(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值； (2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值； (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值． 解：(1)法一：设{an}的公差为d， 则解得 故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40. 法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40. 法三：因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40. (2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28. (3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41. 在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助于a1，d建立方程组进行运算，这是最基本的方法；二是利用性质运算，运用等差数列的性质可简化计算，往往会有事半功倍的效果．　　 1．设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 解析：法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列， 所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35. 答案：35 2．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值． 解：{an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)， ∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝3a2＝15， ∴a2＝5，又a1a2a3＝80， ∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 题型三　等差数列的实际应用 [例 3]　某公司2019年经销一种电子产品，获利200万元，从2020年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不研发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将出现亏损？ 解：记2019年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年的获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司经销此产品将出现亏损． 设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20， 所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 由题意知数列{an}为递减数列，令an<0， 即an＝220－20n<0，得n>11， 即从第12年起，也就是从2030年开始，该公司经销此产品将出现亏损． 解与等差数列有关的实际问题的策略 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．　　 　《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　) A．1升　B．升　C．升　D．升 解析：选B　设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}， 其首项为a1，公差为d，由条件得 即解得 所以a5＝a1＋4d＝. [课堂小结] 1．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． 2．等差数列{an}中，每隔相同的项数抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 4．在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$