第1章 2.1 第1课时 等差数列的定义及通项公式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

§2　等差数列 2．1　等差数列 第1课时　等差数列的定义及通项公式 学习目标 素养要求 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的判断与证明方法． 2．会归纳等差数列的通项公式，会运用通项公式解决一些简单问题． 1.借助等差数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助等差数列通项公式的求解与运用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等差数列的定义 [问题 1]　数列： (1)0，5，10，15，20. (2)48，53，58，63. (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5. (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 360. 以上四个数列有什么共同的特征？ 答：共同特征：从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数． [问题 2]　问题1中的数列的共同特征能不能用一个式子表示？ 答：能，如果用d表示那个常数，则可以表示成an＋1－an＝d. ►知识填空 等差数列的定义 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示． 由此定义可知，对等差数列{an}，有a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝…＝d． 知识点二　等差数列的通项公式 [问题 1]　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，你能用a1和d表示出a2，a3，a4吗？ 答：a2－a1＝d，即a2＝a1＋d； a3－a2＝d，即a3＝a2＋d＝a1＋2d； a4－a3＝d，即a4＝a3＋d＝a1＋3d. [问题 2]　由问题1中的a2，a3，a4的表示，你能猜想等差数列的通项公式吗？ 答：猜想通项公式为an＝a1＋(n－1)d. ►知识填空 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． [拓展]　公差为d的等差数列中an与am的关系： an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋). [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列.(　　) (2)若数列{an}满足an－an－1＝d(d是常数)，则{an}是等差数列．(　　) (3)若数列{an}满足an＋2－an＝3，则{an}是等差数列．(　　) (4)若a＋c＝2b，则实数a，b，c成等差数列．(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于(　　) A．　　　　　　　　B．－ C．1 D．－1 解析：选C　∵a3＝5，a6＝8，∴d＝＝1. 3．已知{an}为等差数列，若a1＝6，a3＋a5＝0，则数列{an}的通项公式为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝6，a3＋a5＝0， 所以2×6＋6d＝0，解得d＝－2. 所以an＝6－2(n－1) ＝8－2n. 答案：an＝8－2n 4．在等差数列{an}中，已知a5＝11，d＝－2，an＝1，则n＝________． 解析：因为a5＝11，d＝－2， 所以a1＋4×(－2)＝11， 所以a1＝19， 所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21. 令－2n＋21＝1，得n＝10. 答案：10 题型一　等差数列的定义 [例 1]　(多选)下列命题中正确的是(　　) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．数列{2n＋1}是等差数列 D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 解析：选BC　A中，数列是公差为－2的等差数列；B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列． 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数．　　 　(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1，1，1，1，1　　　　B．4，7，10，13，16 C．，，1，， D．－3，－2，－1，1，2 解析：选ABC　由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；B项，d＝3，故是等差数列；C项，d＝，故是等差数列；D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列． 题型二　等差数列的通项公式及应用 [例 2]　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； (2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值． 解：(1)法一：∵a4＝7，a10＝25， 则得 ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 即通项公式an＝3n－5(n∈N＋). 法二：∵a4＝7，a10＝25，∴a10－a4＝6d＝18， ∴d＝3，∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋). (2)法一：由得 解得a1＝，d＝－. ∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－. 法二：由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d， 解得d＝－. ∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－. 等差数列通项公式的应用 (1)等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量． (2)若所求问题中的条件与结论的联系不明显，则可把所给条件都化为有关a1和d的方程组，解方程组可求a1和d.　　 　在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：(1)因为解得 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项． (2)设{an}的公差为d， 则解得 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋， 所以a10＝13－10＝3. 题型三　等差数列的判定与证明 [例 3]　(1)判断下列数列是否为等差数列． ①an＝3n＋2；②an＝n2＋n. (2)在数列{an}中，a1＝0，a2＝1，当n≥2时，＝.求证：数列{an}是等差数列． 解：(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列． ②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2 ＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列． (2)证明：当n≥2时，由＝，得(n－1)an＋1＝nan， 所以nan＋2＝(n＋1)an＋1，两式相减得 nan＋2－ (n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan， 整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1， 所以an＋2＋an＝2an＋1，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an， 又因为a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1， 所以数列{an}是等差数列． 1．定义法判定等差数列 (1)条件：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)或an－an－1＝d(常数)(n>1，n∈N＋). (2)结论：{an}是等差数列． (3)应用范围：通常用于解答题． 2．通项公式法判定等差数列 (1)条件：数列{an}的通项公式满足函数关系式an＝kn＋b (k，b是常数). (2)结论：{an}是等差数列． (3)应用范围：通常用于选择、填空题． [提醒]　当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数)，无法说明数列{an}是等差数列，因为a2－a1不一定等于d.　　 　已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)确定． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x100. 解：(1)证明：xn＝f(xn－1)＝(n≥2，n∈N＋)， 所以＝＝＋， －＝(n≥2，n∈N＋). 所以是等差数列． (2)由(1)知的公差为. 又因为x1＝，即＝2. 所以＝2＋(n－1)×，＝2＋(100－1)×＝35.所以x100＝. [课堂小结] 1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (2)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需要举出一个反例即可． 2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$