第1章 1.2 数列的函数特性（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

1．2　数列的函数特性 学习目标 素养要求 1.掌握数列的函数特性． 2．会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性． 1.通过学习数列的函数特性，培养直观想象的核心素养． 2．通过判断数列的增减性，提升逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　数列的函数特性 [问题 1]　数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？ 答：数列也可以用图象、列表来表示． [问题 2]　以数列2，4，6，8，10，12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ 答：(1)通项公式法：an＝2n. (2)列表法： n 1 2 3 … k … an 2 4 6 … 2k … (3)图像法： [问题 3]　类比函数的单调性，问题2中的数列的增减性如何？ 答：问题2中的数列是递增数列，它满足an＋1＞an. ►知识填空 1．数列的图象 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(k，ak)，k＝1，2，3，…这个图象也称为数列的图象． 2．数列的增减性 递增数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列． 递减数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列． 常数列 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值．(　　) (2)函数y＝f(x)为减函数，则数列an＝f(n)必为递减数列.(　　) (3)0，1，0，1，…是常数列．(　　) (4)数列是递增数列．(　　) 提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是(　　) A.一条直线　　　　　B．一条抛物线 C.一个圆 D．一群孤立的点 解析：选D　∵an＝3n－2，n∈N＋， ∴数列{an}的图象是一群孤立的点． 3．已知数列{an}的通项公式是an＝，则这个数列是(　　) A.递增数列 B．递减数列 C.常数列 D．摆动数列 解析：选B　数列{an}的通项公式是 an＝＝＝1＋， 所以an＋1－an＝－<0， 故这个数列为递减数列． 4．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小值是________． 解析：an＝n2－6n＝(n－3)2－9，所以当n＝3时，an取得最小值－9. 答案：－9 题型一　图象法判断数列的增减性 [例 1]　已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增减性． 解：图象如图所示，该数列在1≤n≤4，n∈N＋上是递减的，在n≥5，n∈N＋上也是递减的． 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而判断数列的增减性．　　 　根据下面3个数列的通项公式，分别作出它们的图象，并判断它们是递增数列还是递减数列． (1)an＝－；(2)bn＝；(3)cn＝. 解：(1)图象如图①，由图象知数列{an}为递减数列． (2)图象如图②，由图象知数列{bn}为递增数列． (3)图象如图③，由图象观察表示数列{cn}的各点在横轴上、下摆动，它不是递增数列，也不是递减数列． 题型二　定义法判断数列的增减性 [例 2]　已知数列{an}的通项公式为an＝－，求证：此数列为递增数列． 证明：法一：an＋1－an＝(－)－(－)＝2－(＋). ∵(2)2－(＋()2 ＝4n＋4－(n＋2＋n＋2) ＝2(n＋1)－2 ＝2(－) ＝2(－)>0， 即an＋1>an，∴数列{an}是递增数列． 法二：＝ ＝<1. ∵an<0，∴an＋1>an，∴数列{an}是递增数列． 用定义法判断数列的增减性时，用数列的后一项减去前一项an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列，这与判断函数单调性的作差法非常相似．　　 　已知数列{an}的通项公式为an＝a·(a≠0且为常数)，试判断数列的单调性． 解：an－an－1＝－a·(n≥2，n∈N＋)， 当a>0时，an－an－1<0，即an<an－1， 由递减数列的定义知，数列{an}是递减数列； 当a<0时，an－an－1>0，即an>an－1， 由递增数列的定义知，数列{an}是递增数列． 题型三　数列增减性的应用 [例 3]　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋).试问数列{an}有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由． 解：∵an＋1－an＝·(n＋2)－·(n＋1)＝＝·， ∴n≤7时，an＋1－an>0，an＋1>an； n＝8时，an＋1－an＝0，an＋1＝an； n≥9时，an＋1－an<0，an＋1<an. 故存在最大项，最大项为a8＝a9＝0.98×9. 数列增减性的应用 (1)求数列的最大项，首先判断数列的单调性或项的增减特征，确定最大项的项数后求出相应的项． (2)求参数的范围，由数列的单调性，列出关于an＋1，an的不等式，利用不等式及函数知识求范围，其中分离参数是常用的解题技巧．　　 1．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知an＝ 因为数列{an}是递增数列，所以 当n≤7时，3－a>0，即a<3； 当n>7时，a>1； 且a7<a8，即(3－a)×7－3<a8-6， 解得a>2或a<－9. 故a的取值范围为2<a<3. 答案：(2，3) 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N＋，∴n＝2，3， ∴数列中有两项是负数． (2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝－，可知对称轴方程为n＝＝2.5. 又∵n∈N＋，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 法二：设第n项最小，由 得 解得2≤n≤3，∴n＝2，3，∴a2＝a3且最小， ∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. [课堂小结] 1．数列的常用表示法 因为数列是特殊函数，同函数一样，所以数列的常用表示方法有三种：①通项公式法；②图象法；③列表法． 2．数列单调性与函数单调性的区别与联系 (1)联系：若函数f(x)在区间[1，＋∞)内单调，则数列f(n)也单调．反之不正确． (2)区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替．数列单调性的定义：只需比较相邻的an与an＋1的大小来确定单调性． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$