第1章 1.1 数列的概念（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

　数列 §1　数列 1．1　数列的概念 学习目标 素养要求 1.通过实例理解数列及其相关概念，了解数列是一种特殊的函数． 2．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 3．掌握数列通项公式的应用． 1.通过数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过数列通项公式的学习及应用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　数列及其相关概念 [问题 1]　按顺序分别写出满足下列条件的数： (1)正整数1，2，3，4，5，6的倒数； (2) －1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂； (3)正整数1，2，3，4，5，6，…的平方． 答：(1)1，，，，，. (2)(－1)1，(－1)2，(－1)3，(－1)4. (3)12，22，32，42，52，62，… [问题 2]　问题1中的几列数有顺序吗？可以前后交换位置吗？ 答：有顺序．不能交换位置． [问题 3]　问题1中的几列数有什么共同的特点？ 答：(1)都是一列数；(2)都有一定的顺序． ►知识填空 1．数列及其相关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫作数列． 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项． 续表 首项 数列的第1项a1常称为首项． 通项 数列中的第n项an，叫作数列的通项． 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…. (2)字母表示：上面数列也记为{an}． 3．数列按项的个数分类 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点二　数列与函数的关系、数列的通项公式 [问题 1]　函数y＝7x＋9与y＝3x，当依次取1，2，3，…时，其函数值能构成数列吗？ 答：能构成数列，分别是数列16，23，30，37，…；3，6，9，12，…. [问题 2]　观察数列1，，，，，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？ 答：该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，公式an＝可表示这个数列． [问题 3]　如果知道了数列的每一项都可以用an＝表示，这个数列的第10项是多少？第100项呢？ 答：第10项为a10＝，第100项为a100＝. ►知识填空 1．数列与函数的关系 数列可以看作定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数． 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如精确到1，0.1，0.01，…的不同近似值构成数列1，1.7，1.73，1.732，…就没有通项分式．　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}．(　　) (2)数列中的项互换次序后还是原来的数列.(　　) (3){an}与an的意义一样，都表示数列．(　　) (4)利用数列的通项公式可以求出数列的任何一项．(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项的值为(　　) A．　　　　　　　B．－ C． D．－ 解析：选D　当n＝5时，(－1)n＝－. 3．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：选C　由前6项，可知从第3项起，每一项都是它前面两项的和，所以x＝13. 4．数列，，，1，，，…的一个通项公式为an＝________． 解析：将原数列变形为，，，，，，…，所以an＝. 答案：(这是边文，请据需要手工删加) (这是边文，请据需要手工删加) 数学　选择性必修第二册(BS)(这是双页眉，请据需要手工删加) 第一章　数列(这是单页眉，请据需要手工删加) 题型一　根据数列的前几项求通项公式 [例 1]　写出下列数列的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)9，99，999，9999，…； (4)4，0，4，0，4，0，…. 解：(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝. (2)数列各项的绝对值分别为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑(－1)n+1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n+1(2n－1). (3)各项加1后，分别变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1. (4)由于该数列中，奇数项全部都是4，偶数项全部都是0，因此可用分段函数的形式表示通项公式，即an＝又因为数列可改写为2＋2，2－2，2＋2，2－2，2＋2，2－2，…，因此其通项公式又可表示为an＝2＋2×(－1)n+1. 根据数列的前几项写通项公式的思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n+1处理符号． (4)对于周期出现的数列，考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数的知识解答．　　 　根据下面前几项的值，写出数列的一个通项分式： (1)3，5，7，9，11，13，…； (2)，，，，，…； (3)0，1，0，1，0，1，…； (4)2，－6，12，－20，30，－42，…. 解：(1)从3开始的奇数列，an＝2n＋1. (2)分子为偶数，分母为相邻两奇数的积 an＝. (3)an＝. (4)将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，5×6，…， 所以an＝(－1)n+1n(n＋1). 题型二　数列通项公式的简单应用 [例 2]　已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋. (1)求a10； (2)是不是这个数列中的项？ (3)这个数列中有多少项是整数？ (4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由． 解：(1)a10＝＝. (2)令＝，得n＝100，故是这个数列中的项． (3)易知an＝1＋，若an是整数，则n＝1，2，3，6，故这个数列中共有4项是整数． (4)令＝n，得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍).故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. 求项或判断某数是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．　　 　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ (3)数列{an}中有多少个负数项？ 解：(1) a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)， ∴n＝7，即－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2. ∵∉N＋，－2∉N＋，∴68不是该数列的项． (3)an＝n(3n－28)，令an<0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项． [课堂小结] 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质 (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$