第2章 6.1 函数的单调性（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第二章　导数及其应用 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 　§6　用导数研究函数的性质 6．1　函数的单调性 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十九） Part 03 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 递增 递减 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课时作业（十九） 点击进入word 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.理解导数的符号与函数的单调性的关系． 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 3．会利用导数求函数的单调区间． 1.通过导数与函数单调性关系的学习，提升数学抽象、直观想象的核心素养． 2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　导数的符号与函数的单调性之间的关系 　已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝ eq \f(1,x)的图象如下图所示． [问题1]　试结合图象指出以上三个函数的单调性． 答：函数y1＝x在R上为增函数；y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数；y3＝ eq \f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数． [问题2]　判断它们的导数在其单调区间上的正、负． 答：y1′＝1在R上为正；y2′＝2x在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y3′＝－ eq \f(1,x2)在_(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负． [问题3]　结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系． 答：当f′(x)>0时，f(x)为增函数； 当f′(x)<0时，f(x)为减函数． ►知识填空 1．导数的符号与函数的单调性之间的关系 (1)若在定义域的某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调 ． (2)若在定义域的某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调 ． 2．函数单调递增(或递减)的充要条件 若在某个区间内，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间内，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减． 3．函数的变化快慢与导数绝对值的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)在(a，b)内各点处的切线的倾斜角都是锐角．(　　) (2)若f(x)在(a，b)内单调递增，则在(a，b)内必有f′(x)>0.(　　) (3)单调递增函数的导函数也是单调递增函数．(　　) (4)函数f(x)在(a，b)内变化得越快，其导数就越大．(　　) 提示：：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(3)＞0　　　B．f′(3)＜0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 解析：选B　由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减， 则在(1，5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0. 3．函数y＝x3－3x的单调减区间是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析：选C　y′＝3x2－3，由y′＝3x2－3<0得－1<x<1， ∴函数y＝x3－3x的单调减区间是(－1，1). 4．函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3－x2－3x＋2的单调增区间是______． 解析：f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>3，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). 答案：(－∞，－1)，(3，＋∞) 题型一　利用导数求函数的单调区间 [例 1]　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝ eq \f(ex,x－2). 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). f′(x)＝2x－ eq \f(1,x)＝ eq \f((\r(2)x－1)(\r(2)x＋1),x). 因为x>0，所以 eq \r(2)x＋1>0， 令f′(x)>0，解得x> eq \f(\r(2),2)，所以函数f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))； 令f′(x)<0，解得x< eq \f(\r(2),2)， 又x∈(0，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))). (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f′(x)＝ eq \f(ex(x－2)－ex,(x－2)2)＝ eq \f(ex(x－3),(x－2)2). 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0. 令f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 令f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3). [反思感悟] 求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集； (4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间． 　　求函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋ax2＋(2a－1)x(a≠1的常数)的单调区间． 解：由f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋ax2＋(2a－1)x， 得f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1). ∵a≠1，∴－1≠1－2a. 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1－2a. (1)当a>1时，1－2a<－1， 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1－2a) (1－2a，－1) (－1，＋∞) f′(x) ＋ － ＋ f(x) ·   ·  由此可得，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1). (2)当a<1时，1－2a>－1，同理可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1, 1－2a). 综上，当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－ 2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1)； 当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1，1－2a). 题型二　函数与导函数图象之间的关系 [例 2]　(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) (2)函数y＝f(x)在定义域(－ eq \f(3,2)，3)内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为________． 解：(1)由函数的图象知：当x<0时，函数单调递增，导数的图象应始终在x轴上方；当x>0时，函数先增后减再增，导数值应先正后负再正，对应的图象先在x轴上方然后又在x轴下方，再回到x轴上方．对照选项，只有D正确． (2)函数y＝f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和区间(2，3)上单调递减，所以在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和区间(2，3)上，y＝f′(x)<0， 所以f′(x)<0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2，3). 答案：(1)D　(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2，3) [反思感悟] 研究函数与导函数图象之间关系的方法 函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降．看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性．解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象． 　在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是(　　) A．①②　　　　　　　B．①③ C．③④ D．①④ 解析：选C　当f′(x)>0时，y＝f(x)是递增的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是递减的．故可得①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误． 题型三　已知函数单调性求参数范围 [例 3]　若函数f(x)＝x3－ax2＋1在[0，2]上单调递减，求实数a的取值范围． 解： 法一：f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a). ①当a＝0时，f′(x)≥0，故y＝f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与y＝f(x)在[0，2]内单调递减不符，舍去． ②当a<0时，由f′(x)≤0得 eq \f(2,3)a≤x≤0， 即f(x)的减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，0))， 与y＝f(x)在[0，2]内单调递减不符，舍去． ③当a>0时，由f′(x)≤0得0≤x≤ eq \f(2,3)a， 即f(x)的减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)a)). 由y＝f(x)在[0，2]内单调递减得 eq \f(2,3)a≥2得a≥3. 综上可知，a的取值范围是[3，＋∞). 法二：f′ (x)＝3x2－2ax. 由y＝f(x)在[0，2]内单调递减知3x2－2ax≤0在[0，2]内恒成立． ①当x＝0时，由3x2－2ax≤0在[0，2]内恒成立得a∈R. ②当x≠0时，由3x2－2ax≤0在[0，2]内恒成立， 得a≥ eq \f(3,2)x恒成立，故只需a≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x)) eq \s\do7(max)， 又 eq \f(3,2)x在[0，2]上最大值为3，故a≥3. 综上可知，a的取值范围是[3，＋∞). [反思感悟] 已知f(x)在区间(a，b)上的单调性， 求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立． 1．已知函数f(x)＝ eq \f(ln x＋(x－b)2,2)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4)))　　　　　B．(－∞，3) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) D．(－∞， eq \r(2)) 解析：选A　易得f′(x)＝ eq \f(1,2x)＋x－b＝ eq \f(2x2－2bx＋1,2x). 根据题意，得f′(x)>0在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上有解． 令h(x)＝2x2－2bx＋1， 因为h(0)＝1>0， 所以只需h(2)>0或h eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0， 解得b< eq \f(9,4)，故选A. 2．已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________． 解析：∵f (x)＝x3－kx， ∴f′(x)＝3x2－k， 若函数f(x)在区间(－3，－1)上不单调， 则函数f′(x)在(－3，－1)上存在一个变号零点． 则f′(－3)·f′(－1)<0. ∴(27－k)(3－k)<0. 解得3<k<27. 答案：(3，27) 由y＝f(x)在[0，2]内单调递减得 eq \f(2,3)a≥2得a≥3. 综上可知，a的取值范围是[3，＋∞). 法二：f′ (x)＝3x2－2ax. 由y＝f(x)在[0，2]内单调递减知3x2－2ax≤0在[0，2]内恒成立． ①当x＝0时，由3x2－2ax≤0在[0，2]内恒成立得a∈R. ②当x≠0时，由3x2－2ax≤0在[0，2]内恒成立， 得a≥ eq \f(3,2)x恒成立，故只需a≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x)) eq \s\do7(max)， 又 eq \f(3,2)x在[0，2]上最大值为3，故a≥3. 综上可知，a的取值范围是[3，＋∞). [课堂小结] 1．求函数f(x)的单调区间时，先确定函数的定义域，在定义域内通过解f′(x)>0或f′(x)<0得到两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接． 2．已知函数f(x)在某个区间上的单调性求参数的取值范围时，可转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立问题，并注意验证等号成立时是否符合题意． $$