第2章 3 导数的计算（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第二章　导数及其应用 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 §3　导数的计算 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十六） Part 03 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 每一点x 导函数 导数 y′ 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 0 ex 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课时作业（十六） 点击进入word 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.理解导函数的定义，会利用导数的定义求常见函数的导数． 2．掌握导数公式表，并能进行简单的应用． 1.通过学习导函数的定义，培养数学抽象的核心素养． 2．借助导数公式的应用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　导函数 [问题 1]　对于函数f(x)＝－x2＋2，如何求f′(1)，f′(0)，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，f′(a)(a∈R)? 答： eq \f(Δy,Δx)＝2,0) eq \f(－(x0＋Δx)2＋2－（－x＋2）,Δx) ＝－2x0－Δx， 当Δx趋于0时，得导数f′(x0)＝－2x0， ∴f′(1)＝－2，f′(0)＝0，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1，f′(a)＝－2a. [问题 2]　若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？ 答：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数． ►知识填空 导函数 如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的 处都有导数f′(x)＝ ，那么 是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的 ，也简称为 ，有时也将导数记作 ． eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))_ eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx) f′(x) [点睛]f′(x0)与f′(x)的异同 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值． 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值． f′(x) f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 知识点二　导数公式 [问题]　下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数： f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1×x1-1； f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2-1； f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3-1； f(x)＝ eq \f(1,x)＝x-1⇒f′(x)＝－x-2＝－x-1-1； f(x)＝ eq \r(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2))⇒f′(x)＝ eq \f(1,2)x－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2)x eq \f(1,2)-1 . 你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？ 答：通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)′＝αxα-1. eq \f(1,x) cosx －sinx eq \f(1,cos2x) ►知识填空 基本初等函数的导数 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝ y＝xα(α是常数) y′＝ y＝ax (a＞0，a≠1) y′＝ 特别地(ex)′＝ y＝logax (a＞0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ y＝sin x y′＝ y＝cos x y′＝ y＝tan x y′＝ αxα-1 axlnα eq \f(1,x ln a) [点睛] (1)函数f(x)＝ln x与f(x)＝logax的导数公式之间有内在联系，根据对数的换底公式，可以得到f(x)＝logax＝ eq \f(ln x,ln a)，于是f′(x)＝(logax)′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln x,ln a)))′＝ eq \f(1,ln a)·(ln x)′＝ eq \f(1,x ln a)，据此我们一方面可以推导出对数函数的导数公式，还可以帮助我们对这个导数公式的记忆． (2)由于根式函数可以转化为幂函数的形式，因此可以利用幂函数的导数公式解决根式函数的求导问题．一般地对于函数f(x)＝ eq \r(n,xm)，有f(x)＝ eq \r(n,xm)＝x eq \s\up6(\f(m,n))，从而f′(x)＝(x eq \s\up6(\f(m,n)))′＝ eq \f(m,n)·x eq \f(m,n)-1. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝ eq \r(2)，则y′＝ eq \f(1,2)×2＝1.(　　) (2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　) (3)f(x)＝ eq \f(1,x3)，则f′(x)＝－ eq \f(3,x4). (　　) (4)f(x)＝ln ex，则f′(x)＝ eq \f(x,e).(　　) 提示：：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于(　　) A．1　　　　　　B．2 C．3 D．4 答案：C 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　) A． eq \f(1,10) B．10 C．10ln 10 D． eq \f(1,10ln 10) 答案：C 4．已知f(x)＝cos x，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝__________． 答案：－ eq \f(\r(2),2) 题型一　利用导数公式求函数的导数 [例 1]　(1)y＝x12；(2)y＝ eq \f(1,x4)；(3)y＝ eq \r(5,x3)；(4)y＝3x；(5)y＝log5x. 解：(1)y′＝(x12)′＝12x11； (2)y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x-4)′＝－4x-5＝－ eq \f(4,x5)； (3) y′＝( eq \r(5,x3))′＝(x eq \s\up6(\f(3,5)))′＝ eq \f(3,5)x－ eq \f(2,5)； (4)y′＝(3x)′＝3x ln 3； (5)y′＝(log5x)′＝ eq \f(1,x ln 5). [反思感悟] (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． (3)要特别注意“ eq \f(1,x)与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别． 　求下列函数的导数： (1)y＝lg 4； (2)y＝2x； (3)y＝ eq \f(x2,\r(x))； (4)y＝2cos2 eq \f(x,2)－1. 解：(1)y′＝(lg 4)′＝0； (2)y′＝(2x)′＝2x ln 2； (3)∵y＝ eq \f(x2,\r(x))＝x 2－ eq \f(1,2)＝x eq \s\up6(\f(3,2))， ∴y′＝(x eq \s\up6(\f(3,2)))′＝ eq \f(3,2)x eq \s\up6(\f(1,2))； (4)∵y＝2cos2 eq \f(x,2)－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x． 题型二　导数公式的简单应用 [例 2]　已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 解：因为y′＝ eq \f(1,x)， 所以当x＝e时，y′＝ eq \f(1,e)， 即切线斜率为 eq \f(1,e)，所以切线方程为 y－1＝ eq \f(1,e)(x－e)， 即x－ey＝0. [反思感悟] 求曲线方程或切线方程的注意点 (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点． 1．(变结论)若本例条件不变，求曲线过O(0，0)的切线． 解：因为O(0，0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)， 则切线斜率k＝ eq \f(1,a)， 又因为k＝ eq \f(b－0,a－0)，且b＝ln a， 所以a＝e，b＝1， 所以切线方程为x－ey＝0. 2．求曲线y＝cos x在点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))处的切线方程． 解：因y′＝(cos x)′＝－sin x， 则曲线在点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))处的切线的斜率为 k＝y′|x＝ eq \f(π,3)＝－ sin eq \f(π,3)＝－ eq \f(\r(3),2). 因此，所求切线方程为 y－ eq \f(1,2)＝－ eq \f(\r(3),2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))， 即 eq \r(3)x＋2y－1－ eq \f(\r(3),3)π＝0. 题型三　导数几何意义及公式的综合应用 [例 3]　求证：在双曲线y＝ eq \f(1,x)上任意一点处的切线与x轴，y轴围成的三角形的面积为常数． 解：设P(x0，y0)为y＝ eq \f(1,x)上任意一点，则y0＝ eq \f(1,x0)(x0≠0).又y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－ eq \f(1,x2)， ∴双曲线在P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))处的切线斜率 k＝y′|x＝x0＝－2,0) eq \f(1,x) ， 切线方程为：y－ eq \f(1,x0)＝－2,0) eq \f(1,x) (x－x0). 令x＝0，则y＝ eq \f(2,x0)；令y＝0，则x＝2x0. 所以切线与x轴，y轴的交点分别为(2x0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,x0))). 因此，所求三角形的面积为 S＝ eq \f(1,2)| 2x0|· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,x0)))＝2(常数). ∴在双曲线y＝ eq \f(1,x)上任意一点处的切线与x轴，y轴围成的三角形的面积为常数． [反思感悟] 要求面积，须求出切线与x轴、y轴的交点坐标，因此解决问题的切入点是切点P(x0，y0)的设定，然后利用参数x0表达出切线方程及三角形面积，消去参数x0，说明面积与参数x0无关．　 　曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a所围成的三角形的面积为 eq \f(1,6)，则a＝________． 解析：由y＝x3可得y′＝3x2， 所以曲线在点(a，a3)处的切线的斜率为k＝3a2， 切线方程为y－a3＝3a2 (x－a)， 切线与x轴的交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，0)). 所以三角形的面积为 eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))·|a3|＝ eq \f(1,6)， 解得a＝±1. 答案：±1 [课堂小结] 1．利用基本初等函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导． 3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化． $$