第2章 2.1 导数的概念（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第二章　导数及其应用 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 §2　导数的概念及其几何意义 §2．1　导数的概念 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十四） Part 03 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 一个固定的值 x0处的瞬时变化率 x0处的导数 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课时作业（十四） 点击进入word 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.了解函数导数的概念．会求函数在某点处的导数． 2．理解导数在实际问题中的意义并能简单应用． 1.通过导数概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助求函数在某点处的导数及结合具体问题解释导数的实际意义，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　导数的概念 [问题]　已知函数f(x)＝3x2＋2. (1)求f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率． (2)当Δx趋于0时，平均变化率有什么样的变化趋势？ 答：(1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝12Δx＋3 (Δx)2， ∴f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx)＝12＋3Δx. (2)当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于常数12. eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) f′(x0) ►知识填空 导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从 变到 ，函数值y关于x的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx)＝ ＝ ． 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于 ，那么这个值就是函数y＝f(x)在点 ．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点 ，通常用符号 表示，记作f′(x0)＝ ＝ 备注：f′(x0)也称为当x趋于x0时，平均变化率的极限． f(x0) f(x1) eq \f(f(x1)－f(x0),x1－x0) 　 eq \a\vs4\al([点睛]) 1．理解函数在某点处的导数 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． 2．函数在某点处的导数f′(x0)的物理意义 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)位移函数f(t)在t0处的导数f′(t0)就是f(t)在t0时刻的瞬时速度． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) (4)函数y＝f(x)在x0处的导数实质就是函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．(　　) 提示：：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝ eq \f(1,2)gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝lim eq \o(,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C.9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 解析：选C　结合平均变化率与瞬时变化率可知选项A，B，D都不正确．只有C正确． 3．已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________． 解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx， eq \f(Δy,Δx)＝2a，∴ eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝2a，∴a＝ eq \f(1,2)f′(1)＝1. 答案：1 4．某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是________． 解析： eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)＝2(Δt)2＋6Δt＋6， ∴当Δt趋于0时， eq \f(Δs,Δt)趋于6，即s′(1)＝6， 故物体在第t＝1时的瞬时速度为6. 答案：6 题型一　求函数在某点处的导数 [例 1]　(1)函数y＝ eq \r(x)在x＝1处的导数为__________． (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 解析：(1)因为Δy＝ eq \r(1＋Δx)－1， eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝ eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)， ， 所以y′|x＝1＝ eq \f(1,2). 答案： eq \f(1,2) (2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2， ∴ eq \f(Δy,Δx)＝6＋3Δx， [反思感悟] 　求函数y＝f(x)＝x＋ eq \f(1,x)在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝(1＋Δx)＋ eq \f(1,1＋Δx)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1))) ＝Δx－1＋ eq \f(1,1＋Δx)＝ eq \f((Δx－1)(Δx＋1)＋1,1＋Δx)＝ eq \f((Δx)2,1＋Δx)， ∴ eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(Δx,1＋Δx)， 当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于0，∴f′(1)＝0. 题型二　求瞬时速度 [例 2]　如果某物体的运动路程s与时间t满足函数s＝2(1＋t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求此物体在1.2 s末的瞬时速度． 解：Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22) ＝4.8Δt＋2(Δt)2， eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(4.8Δ＋2(Δt)2,Δt)＝4.8＋2Δt， 当Δt→0时， eq \f(Δs,Δt)趋于4.8，即s′(1.2)＝4.8， 故物体在1.2 s末的瞬时速度为4.8 m/s. [反思感悟] 1．(变结论)试求本例中物体在t0时的瞬时速度． 解：因为Δs＝2[1＋(t0＋Δt)2]－2(1＋t eq \o\al(2,0)) ＝4Δt·t0＋2(Δt)2， eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(4Δt·t0＋2(Δt)2,Δt)＝4t0＋2Δt. 所以当Δt趋于0时， eq \f(Δs,Δt)趋于4t0，所以此物体在t0时的瞬时速度为4t0 m/s. 2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度； (3)求t＝0到t＝2之间的平均速度． 解：(1)∵ eq \f(s(Δt)－s(0),Δt)＝3－Δt， ∴当Δt趋于0时， eq \f(s(Δt)－s(0),Δt)趋于3， 所以物体的初速度为3. (2)∵ eq \f(s(2＋Δt)－s(2),Δt)＝－1－Δt， ∴当Δt趋于0时， eq \f(s(2＋Δt)－s(2),Δt)趋于－1， 故物体在t＝2时的瞬时速度为－1. (3) eq \x\to(v)＝ eq \f(s(2)－s(0),2)＝1. 题型三　实际问题中导数的意义 [例 3]　下表为一次降雨过程中一段时间内记录的降雨量数据． 时间t/min 0 10 20 30 40 50 60 降雨量y/mm 0 10 14 17 20 22 24 显然，降雨量y(单位：mm)是时间t(单位：min)的函数，用y＝f(t)表示． (1)分别计算当t从0 min变到10 min，从50 min变到60 min时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义； (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为f(t)＝ eq \r(10t)，求f′(40)并解释它的实际意义． 解：(1)当t从0 min变到10 min时，降雨量y从0 mm变到10 mm，此时，降雨量y关于时间t的平均变化率为 eq \f(y(10)－y(0),10－0)＝ eq \f(10－0,10－0)＝1(mm/min). 它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分钟降雨量为1 mm. 当t从50 min变到60 min时，降雨量y从22 mm变到24 mm， 此时，降雨量y关于时间t的平均变化率为 eq \f(y(60)－y(50),60－50)＝ eq \f(24－22,60－50) ＝0. 2(mm/min). 它表示从50 min到60 min这段时间内，平均每分钟降雨量为0.2 mm. 1>0.2，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min比后10 min的雨下得大． (2)∵ eq \f(f(40＋Δt)－f(40),Δt) ＝ eq \f(\r(10(40＋Δt))－\r(10×40),Δt) ＝ eq \f(10(40＋Δt)－400,Δt(\r(10（40＋Δt))＋20）) ＝ eq \f(10,\r(400＋10Δt)＋20)， ∴当Δt趋于0时， eq \f(10,\r(400＋10Δt)＋20)趋于 eq \f(1,4). 即f′(40)＝0.25(mm/min)， f′(40)表示当t＝40 min时，瞬时降雨强度为0.25mm/min. [反思感悟] 函数在某点处的导数就是函数在该点处的瞬时变化率，而瞬时变化率刻画的是函数在这一点处变化的快慢，导数可以描述事物的瞬时变化率，它在现实生活中有广泛的应用，如用导数来解决膨胀率、效率、GDP的增长率、瞬时速度等． 　　某物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t，求函数s＝3t在t＝3处的导数s′(3)，并解释它的实际意义． 解：当t从3变成3＋Δt时，函数值从3×3变成3(3＋Δt)，函数值s关于t的平均变化率为 eq \f(s(3＋Δt)－s(3),Δt)＝ eq \f(3(3＋Δt)－3×3,Δt) ＝3(m/s). 当t趋于3，即Δt趋于0时，平均变化率趋于3， 所以s′(3)＝3 m/s. 它表示物体在t＝3时的瞬时变化率为3 m/s. [课堂小结] 1．利用导数定义求导数 (1)取极限前，要注意化简 eq \f(Δy,Δx)，保证使Δx趋于0时分母不为0. (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关． 2．导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛． $$