第2章 1 平均变化率与瞬时变化率（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第二章　导数及其应用 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 §1　平均变化率与瞬时变化率 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十三） Part 03 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 某一点处变化的快慢 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课时作业（十三） 点击进入word 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.了解函数的平均变化率与在某一点的瞬时变化率的概念，理解平均变化率与瞬时变化率的关系． 2．会求函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率． 1.通过函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助求平均变化率和瞬时变化率，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　平均变化率 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. [问题 1]　在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度 eq \x\to(v)是多少？ 答： eq \x\to(v)＝ eq \f(h(0.5)－h(0),0.5－0)＝4.05(m/s). [问题 2]　在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度 eq \x\to(v)是多少？ 答： eq \x\to(v)＝ eq \f(h(2)－h(1),2－1)＝－8.2(m/s). ►知识填空 函数的平均变化率 定义 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝ eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1) 实质 函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量(Δy＝ )与自变量的改变量(Δx＝ )的比值，即 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1) 作用 刻画函数值在区间 上变化的快慢 f(x2)－f(x1) x2－x1 [x1，x2] 　 eq \a\vs4\al([点睛]) (1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零． (2)函数平均变化率的物理意义，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么函数s(t)在t到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(Δs,Δt).　 知识点二　瞬时变化率 [问题 1]　一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度． 答： eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(8－3(1＋Δt)2－8＋3×12,Δt)＝－6－3Δt. [问题 2]　当Δt趋近于0时问题1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 答：当Δt趋近于0时， eq \f(Δs,Δt)趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度． ►知识填空 瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x1)－f(x0),x1－x0)＝ ． 如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在 ． eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) 　 eq \a\vs4\al([点睛]) (1)平均变化率与瞬时变化率的关系 ①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； ②联系：当Δx趋于0时，平均变化率 eq \f(Δy,Δx)趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值． (2)“Δx趋于0”的含义 Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果f(x)在[x1，x2]上的平均变化率等于0，说明函数从x1到x2没有变化．(　　) (2)在平均变化率中，函数值的改变量不能为零．(　　) (3)函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2 (x2，f(x2))所在直线的斜率．(　　) (4)瞬时变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.(　　) 提示：：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A．0.40　　　　　　　B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析：选B　∵x＝2，Δx＝0.1， ∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝f(2.1)－f(2) ＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 3．一质点按运动方程s(t)＝ eq \f(1,t)作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(　　) A．－1 B．－ eq \f(1,2) C．－2 D．2 解析：选B　 eq \x\to(v)＝ eq \f(s(2)－s(1),2－1)＝ eq \f(1,2)－1＝－ eq \f(1,2). 4．一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度估计是________m/s. 解析：Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴ eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(2Δt＋(Δt)2,Δt)＝2＋Δt，当Δt趋于0时， eq \f(Δs,Δt)趋于2. 答案：2 题型一　求平均变化率 [例 1]　已知函数“f(x)＝x＋ eq \f(1,x)”，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为 eq \f(f(2)－f(1),2－1)＝ eq \f(2＋\f(1,2)－(1＋1),1)＝ eq \f(1,2)； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为 eq \f(f(5)－f(3),5－3)＝ eq \f(5＋\f(1,5)－(3＋\f(1,3)),2)＝ eq \f(14,15). 因为 eq \f(1,2)< eq \f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x)在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． [反思感悟] 求函数平均变化率的步骤 　(1)求自变量的改变量x2－x1； 　(2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； (3)求平均变化率 eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1).　 　函数y＝x2＋5在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．2　　　　　　　　B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 解析：选C　∵(1＋Δx)2＋5－(12＋5)＝2Δx＋Δx2， ∴ eq \f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx，故选C. 题型二　求平均速度 [例 2]　已知某质点按规律s＝2t2＋2t(s的单位：m，t的单位：s)做直线运动，求： (1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度． 解：(1)由题意可知Δt＝3， Δs＝s(3)－s(0)＝24，∴平均速度为 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(24,3)＝8(m/s). (2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12， ∴平均速度为 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(12,1)＝12(m/s). [反思感悟] (1)物体的平均速度实质上是函数的平均变化率； (2)解答这类问题的关键是计算自变量和因变量的改变量．　 　已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s＝f(t)＝ eq \f(1,2)gt2，计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒……各段时间内的平均速度(g＝9.8 m/s2). 解：设Δt＝(t＋d)－t指时间改变量， Δs＝f(t＋d)－f(t)指位移改变量． 则Δs＝f(t＋d)－f(t)＝ eq \f(1,2)g(t＋d)2－ eq \f(1,2)gt2＝gtd＋ eq \f(1,2)gd2， eq \x\to(v)＝ eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(gtd＋\f(1,2)gd2,d)＝gt＋ eq \f(1,2)gd， 所以t从3秒到3.1秒的平均速度 eq \x\to(v)＝29.89(m/s)； t从3秒到3.001秒的平均速度 eq \x\to(v)＝29.404 9(m/s)； t从3秒到3.0001秒的平均速度 eq \x\to(v)＝29.400 49(m/s). 题型三　估计瞬时变化率 [例 3]　10米高台跳水是世界锦标赛比赛项目之一，运动员从腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t秒后运动员相对于水面的高度为H(t)＝－4.9t2 ＋6.5t＋10，试确定t＝2秒时刻运动员的瞬时速度． 解：先求运动员在2秒到2.1秒(即t∈[2，2.1])的平均速度为 eq \x\to(v)＝ eq \f(ΔH,Δt)＝ eq \f(H(t1)－H(t0),t1－t0)＝ eq \f(H(2.1)－H(2),2.1－2) ＝ eq \f(2.041－3.4,0.1)＝－13.59. 将时间间隔每次缩短为前面的 eq \f(1,10)，计算相应的平均速度得到下表： t0/s t1/s 时间的改变量(Δt)/s 高度的改变量(ΔH)/m 平均速度 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ΔH,Δt)))/(m/s) 2 2.01 0.01 －0.131 49 －13.149 2 2.001 0.001 －0.013 104 9 －13.104 9 2 2.000 1 0. 000 1 －0.001 310 049 －13.100 49 2 2.000 01 0.000 01 －0.000 131 000 49 －13.100 049 2 … … … … 可以看出，当时间趋于t＝2 s时，平均速度趋于－13.1 m/s，因此，可以认为t＝2 s时，运动员的瞬时速度为－13.1 m/s. [反思感悟] “求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计出瞬时变化率． 　假设t秒后运动员相对于水面的高度H(t)＝－4.9t2＋4.9t＋10，且运动员在区间[0，t0]上的平均速度为0，试确定t0，并估计此时刻的瞬时速度． 解：由已知得 eq \x\to(v)＝ eq \f(H(t0)－H(0),t0－0) ＝2,0) eq \f(－4.9t＋4.9t0＋10－10,t0) ＝－4.9t0＋4.9＝0. ∴t0＝1. 可以计算出相应的平均速度得到下表： t0/s t1/s 时间的改变量(Δt)/s 高度的改变量(ΔH)/m 平均速度 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ΔH,Δt)))/(m/s) 1 1.1 0.1 －0.539 －5.39 1 1.01 0.01 －0.049 49 －4.949 1 1.001 0. 001 －0.004 904 9 －4.904 9 1 1.000 1 0.000 1 －0.000 490 049 －4.900 49 1 … … … … 可以看出，当时间t1趋于t0＝1 s时，平均速度趋于－4.9 m/s，因此可估计运动员在t0＝1 s时的瞬时速度为－4.9 m/s. [课堂小结] 1．理解平均变化率要注意以下几点 (1)平均变化率 eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1)表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”． (2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为 eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)的形式． (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 2．对平均变化率与瞬时变化率的说明 平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； 当Δx趋于0时，平均变化率 eq \f(Δy,Δx)趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值． $$