第1章 4 数列在日常经济生活中的应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §3　等比数列 §4 数列在日常经济生活中的应用 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十一） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（十一） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.了解数列在“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”等经济活动中的应用． 2．能在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，解决一些实际问题． 1.通过学习银行存款中的单利和复利的计息方式，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2．借助利用等差、等比数列相关知识解决经济生活中的问题，提升数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　单利与复利 [问题]　小王2021年5月16日存入银行1 000元，年利率为1.75%. (1)计算到2022年5月16日得到的本利和； (2)办理一年定期储蓄，以后按约定自动转存，计算到2026年5月16日得到的本利和． 答：(1)1 000×(1＋1.75%) ＝1 017.5(元). (2)1 000×(1＋1.75%)5≈1 090.617(元). ►知识填空 单利、复利 单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为利息＝本金×利率×存期以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝ ． 复利 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利的计算公式是S＝ ． P(1＋nr) P(1＋r)n eq \a\vs4\al([点睛]) (1)单利和复利分别以等差数列和等比数列为数学模型． (2)零存整取、活期储蓄、定期储蓄(即整存整取)等都是计单利的储蓄模型． (3)定期自动转存是计复利的储蓄类型． (4)复利计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的．　 [自主检验] 1．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是(　　) A． eq \f(m,11)　　　　　　　B． eq \f(m,12) C． eq \r(11,m)－1 D． eq \r(12,m)－1 解析：选C　设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设平均增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，∴x＝ eq \r(11,m)－1. 2．小李年初向银行贷款m万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始还款，分10次等额还清，每年1次，问每年应还________万元．(　　) A． eq \f(m,10) B． eq \f(mp(1＋p)10,(1＋p)10－1) C． eq \f(m(1＋p)10,10) D． eq \f(mp(1＋p)9,(1＋p)9－1) 解析：选B　设每年应还x万元，则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝m(1＋p)10， eq \f(x[1－(1＋p)10],1－(1＋p))＝m(1＋p)10，x＝ eq \f(mp(1＋p)10,(1＋p)10－1).故选B. 3．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是(　　) A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 解析：选A　存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元． 4.阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，到期后自动转存，那么10年后共得本利和为________万元．(精确到0.001) 解析：10年后的本利和S＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元). 答案：6.246 题型一　等差数列模型的应用 [例 1]　王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰. (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？ (2)若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元) 解：(1)设王先生每月存入A元，则有A(1＋2.7‰)＋A(1＋2×2.7‰)＋…＋A(1＋36×2.7‰)＝20 000， 利用等差数列前n项和公式，得 A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36＋36×2.7‰＋\f(36×35,2)×2.7‰))＝20 000， 解得A≈529(元). (2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入 eq \f(20 000,36)≈555(元)， 这样，3年后的本息和为 555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰) ＝555 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36＋36×2.7‰＋\f(36×35,2)×2.7‰)) ≈20 978(元). [反思感悟] (1)利用等差数列模型解答问题，首先要判断和证明数列是等差数列； (2)一定要弄清数列的首项、公差和项数等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题. 　　某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业________年后需要更新设备． 答案：10 解析：由题意可知，设备运行n年的年平均费用为 eq \f(100＋0.5n＋2n＋\f(n(n－1),2)×2,n)＝ eq \f(100＋1.5n＋n2,n)＝ eq \f(100,n)＋n＋1.5. 函数f(x)＝ eq \f(100,x)＋x(x>0)在(0，10)上单调递减， 在(10，＋∞)上单调递增， 当x＝10时取到最小值． 所以 eq \f(100,n)＋n＋1.5≥ eq \f(100,10)＋10＋1.5＝21.5. 当且仅当n＝10时上式取到等号． 题型二　等比数列模型的应用 [例 2]　商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2020年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款． (1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款； (2)若公寓管理处要在2028年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元).(参考数据：lg 1.734 3＝0.239 1, lg 1.05＝0.021 2，1.058＝1.477 4) 解：依题意，公寓2020年底建成，2021年开始使用． (1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800(元)＝800 000(元)＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元． 依题意有62×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n-1]≥500(1＋5%)n+1. 化简得62×(1.05n－1)≥25×1.05n+1. ∴1.05n≥1.734 3. 两边取对数整理得n≥ eq \f(lg 1.734 3,lg 1.05)＝ eq \f(0.239 1,0.021 2) ≈11.28. ∴取n＝12(年). ∴到2032年底可全部还清贷款． (2)设每生每年的最低收费标准为x元，因到2028年底公寓共使用了8年， 依题意有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1 000x,10 000)－18))[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9. 化简得(0.1x－18)× eq \f(1.058－1,1.05－1)≥500×1.059. ∴x≥10 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(18＋\f(25×1.059,1.058－1))) ＝10× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(18＋\f(25×1.05×1.477 4,1.477 4－1))) ＝10×(18＋81.2)＝992(元) [反思感悟] 故每生每年的最低收费标准为992元． 定期自动转存是复利的储蓄类型，复利问题需转化为等比数列模型解决．　 　某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一个月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，每次付款数相同，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1) 解：设每期还款数为x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元，则A1＝2 000×(1＋0. 008)－x＝2 000×1.008－x， A2＝A1×(1＋0.008)－x＝2 000×(1＋0.008)2－1. 008x－x＝2000×1.0082－1.008x－x， A3＝A2 (1＋0.008)－x＝2000×1.0083－1.0082x－1.008x－x， …， A12＝2 000×1.00812－1.00811x－1.00810x－…－1.008x－x＝2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1.008＋1)x. 由题意年底还清，所以A12＝0， 解得x＝ eq \f(2 000×1.00812,1.00811＋1.00810＋…＋1.008＋1) ≈ eq \f(2000×1.1,\f(1－1.1,－0.008))＝176(元)，所以每期应付款176元． 题型三　等差、等比数列模型的综合应用 [例 3]　某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷 款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(1.110≈2.594，1.310≈13.786) 解：甲方案十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝ eq \f(1.310－1,1.3－1)≈42.62(万元).又贷款本息总数为10(1＋10%)10＝10×1.110≈25.94(万元)， 甲方案净获利42.62－25.94＝16.68(万元). 乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为 eq \f(1,2)，前10项和为T10＝1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2×\f(1,2)))＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9×\f(1,2)))＝ eq \f(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)＋1)),2)＝32.50(万元)， 而贷款本息总数为1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1× eq \f(1.110－1,1.1－1)≈17.53(万元)， 乙方案净获利32.50－17.53＝14.97(万元). 比较两方案可得甲方案获利较多． [反思感悟] 解决数列实际应用题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，分清是等差数列，还是等比数列，然后转化为数学问题解决． [提醒]　要准确确定项数n. 　用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ 解：　购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款组成数列{an}，则 a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)， a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)， a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)， … an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(n－1,5)))万元 (n＝1，2，…，10). 因而数列{an}是首项为4，公差为－ eq \f(1,5)的等差数列， a5＝4－ eq \f(5－1,5)＝3.2(万元). S10＝10×4＋ eq \f(10×(10－1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))),2)＝31(万元). 因此，第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元． [课堂小结] 解决数列应用题的具体步骤 　(1)认真审题，理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题，还是等比数列问题，还是递推数列问题，是求an，还是求Sn.特别要注意准确弄清项数为多少． ②弄清题目中主要的已知事项． (2)抓住数量关系，联想所学的数学知识和数学方法，恰当地引入参数变量，并将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达． (3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求的量联系起来，并根据题意列出数学关系式． $$