第1章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §3　等比数列 §3．2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（九） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 等比 q 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（九） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.掌握等比数列的前n项和公式，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的求和问题． 2．掌握等比数列前n项和的性质，并能综合应用． 1.通过等比数列前n项和公式推导，培养逻辑推理的核心素养． 2．借助等比数列求和的综合应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等比数列前n项和公式 [问题]　如何求等比数列{an}的前n项和Sn? 答：设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn. Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1.① 则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn.② 由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn. 当q≠1时，Sn＝ eq \f(a1(1－qn),1－q)； 当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1. ►知识填空 等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和公式 Sn＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1(1－qn),1－q)，q≠1 )) Sn＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1 )) eq \a\vs4\al([点睛]) 　在应用公式求和时，应注意到Sn＝ eq \f(a1(1－qn),1－q)的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.　　 　　 [拓展]　Sn是数列{an}的前n项和．{an}是公比不等于1的等比数列⇔Sn＝Aqn＋B，且A＋B＝0. 知识点二　等比数列前n项和的性质 [问题 1]　等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，Sm＋n与Sm及Sn有怎样的关系？为什么？ 答：Sm＋n＝Sm＋qmSn. 证明如下： 左边＝Sm＋n＝(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋am＋2＋…＋am＋n)＝Sm ＋(a1qm＋a2qm＋…＋anqm) ＝Sm＋(a1＋a2＋…＋an)qm ＝Sm＋qmSn＝右边，∴Sm＋n＝Sm＋qmSn. [问题 2]　在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0.则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．怎样证明这个关系？ 答：∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn， ∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…. ∴当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列． ►知识填空 1．前n项和性质 等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成 数列(当q＝－1，n为偶数时，上述性质不成立)，公比为 ． 2．项的个数的“奇偶”性质 在等比数列{an}中，公比为q. (1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝ ； (2)若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝ eq \f(a1(1＋q2n+1),1＋q)(q≠1且q≠－1). qn [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1， eq \f(1,2)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)，…， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(100)的各项和等于2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(100))).(　　) (2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(　　) (3)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an-1＝ eq \f(1－an,1－a).(　　) (4)1－2＋4－8＋16－…＋(－2)n-1＝ eq \f(1×(1－2n),1－(－2)).(　　) 提示：：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于(　　) A．－63　　　　　　　B．31 C．－31 D．63 解析：选D　S6＝ eq \f(1×(1－26),1－2)＝26－1＝64－1＝63. 3．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　) A． eq \f(1,3) B．－ eq \f(1,3) C． eq \f(1,9) D．－ eq \f(1,9) 解析：选C　由题意知公比q≠1， 则S3＝ eq \f(a1(1－q3),1－q)＝a1q＋10a1， 得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a11＝ eq \f(1,9). 4．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________． 解析：因为q≠1，所以S3＝ eq \f(a1(1－q3),1－q)＝ eq \f(2(1－q3),1－q)＝26，所以q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4. 答案：3或－4 题型一　等比数列前n项和的基本计算 [例 1]　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为 eq \f(5,4)，则S5＝(　　) A．29　　　　　　　B．31 C．33 D．36 (2)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3＝ eq \f(7,4)，S6＝ eq \f(63,4)，则a8＝________． 解析：(1)因为数列{an}是等比数列， 由a2·a3＝2a1得a1q· eq \f(a4,q)＝a1·a4＝2a1， 所以a4＝2. 因为a4与2a7的等差中项为 eq \f(5,4)， 所以a4＋2a7＝ eq \f(5,2)，故有a7＝ eq \f(1,4). 所以q3＝ eq \f(a7,a4)＝ eq \f(1,8)，所以q＝ eq \f(1,2)， 所以a1＝ eq \f(a4,q3)＝16. 所以S5＝ eq \f(16\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(5))),1－\f(1,2))＝31. (2)当q＝1时，显然不符合题意； 当q≠1时， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a1(1－q3),1－q)＝\f(7,4)，,\f(a1(1－q6),1－q)＝\f(63,4)，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))则a8＝ eq \f(1,4)×27＝32. 答案：(1)B　(2)32 [反思感悟] 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换． [提醒]　两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧． 　　1．在等比数列{an}中，首项a1＝8，公比q＝ eq \f(1,2)，那么它的前5项和S5的值为(　　) A． eq \f(31,2) B． eq \f(33,2) C． eq \f(35,2) D． eq \f(37,2) 解析：选A　S5＝ eq \f(a1(1－q5),1－q)＝ eq \f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(5))),1－\f(1,2))＝ eq \f(31,2). 2．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________． 解析：设等比数列的公比为q， ∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40， ∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20， 解得q＝2，且a1＝2. ∴Sn＝ eq \f(a1(1－qn),1－q)＝2n+1－2. 答案：2　2n+1－2 题型二　等比数列前n项和性质的应用 [例 2]　(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48, S2n＝60，则S3n＝________． (2)已知等比数列{an}的前4项和为1，且公比q＝2，则前12项的和为________． 解析：(1)由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63. (2)因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝q4S4＝24＝16， 所以S8＝17. 又因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列， 所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)， 即162＝S12－17，所以S12＝273. 答案：(1)63　(2)273 [反思感悟] 解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．解题时把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地．　 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若 eq \f(S6,S3)＝3，则 eq \f(S9,S6)＝________． 解析：由条件得S6＝3S3，故S6－S3＝2S3， 又S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 且S6－S3＝2S3， 故S9－S6＝4S3， 所以S9＝7S3，所以 eq \f(S9,S6)＝ eq \f(7S3,3S3)＝ eq \f(7,3). 答案： eq \f(7,3) 2．若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+1＋a，则a＝______． 解析：因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+1＋a， 所以a1＝S1＝9＋a， a2＝S2－S1＝(27＋a)－(9＋a)＝18， a3＝S3－S2＝(81＋a)－(27＋a)＝54， 因为等比数列{an}中，a eq \o\al(2,2)＝a1a3， 所以182＝(9＋a)×54， 解得a＝－3. 答案：－3 题型三　等比数列前n项和的综合应用 [例 3]　设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean. 解：(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝n ln 2. (2)因为ea1＝eln 2＝2， eq \f(ean,ean－1)＝ean－an－1＝eln 2＝2， 所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以ea1＋ea2＋…＋ean＝ eq \f(2×(1－2n),1－2)＝2(2n－1)＝2n+1－2. [反思感悟] 等比数列前n项和的应用技巧 (1)求和时注意利用定义判断数列是否为等比数列，确定首项与公比是关键． (2)等比数列的前n项和的应用往往结合等差数列的项的性质，要综合应用数列知识解题 　已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通项公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. 解：(1)设等差数列{an}公差为d， 因为a2＋a4＝2a3＝10， 所以a3＝5＝1＋2d， 所以d＝2，所以an＝2n－1. (2)设{bn}的公比为q，b2·b4＝a5⇒q·q3＝9， 所以q2＝3，所以{b2n－1}是以b1＝1为首项， q′＝q2＝3为公比的等比数列， 所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝ eq \f(1×(1－3n),1－3)＝ eq \f(3n－1,2). [课堂小结] 1．本节课的重点是等比数列前n项和公式的基本运算． 2．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．在等比数列前n项和的相关计算中，注意合理利用性质，简化运算． 3．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况． $$