第1章 3.1 第1课时 等比数列的定义及通项公式（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §3　等比数列 §3．1　等比数列 第1课时　等比数列的定义及通项公式 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（七） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 二 前一项的比值 同一个 公比 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（七） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.理解等比数列的定义，掌握等比数列的判断与证明方法． 2．会归纳等比数列的通项公式，会运用通项公式解决一些简单问题． 1.借助等比数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过等比数列通项公式的求解与运用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等比数列的定义 [问题]　观察下面几个数列： (1)1， eq \f(1,2)， eq \f(1,4)， eq \f(1,8)， eq \f(1,16)，…. (2)1，－1，1，－1，1，…. (3) eq \f(1,2)，－1，2，－4，8，…. 上面几组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？ 答：都不是等差数列，不符合等差数列的定义；从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数． ►知识填空 等比数列的定义 如果一个数列从第 项起，每一项与它的 都是 常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的 ，通常用字母q(q≠0)表示． eq \a\vs4\al([点睛]) 对等比数列定义的理解 (1)每一项与它的前一项的比值必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征). (2)等比数列中的任何一项均不能为零． (3)等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零．　　 知识点二　等比数列的通项公式 [问题]　给出等比数列{an}：1，3，9，27，81，…，请根据下列两种思路探求其通项公式： (1)根据等比数列的定义，{an}的递推公式可以如何表示？利用累乘法能否求得{an}的通项公式？ (2)根据等比数列的定义，能否将{an}的各项都用首项和公比表示出来？由此归纳{an}的通项公式． 答：(1){an}的递推公式是a1＝1， eq \f(an,an－1)＝3(n≥2)，利用累乘法可得an＝3n-1. (2)由等比数列的定义： eq \f(a2,a1)＝q，∴a2＝a1q； eq \f(a3,a2)＝q，a3＝a2q＝a1q2，…， eq \f(an,an－1)＝q，an＝an－1q＝…＝a1qn-1. ►知识填空 等比数列的通项公式 若首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的通项公式为an＝ . a1qn-1(a1≠0，q≠0) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数，那么这个数列是等比数列．(　　) (2)若数列{an}的通项公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，则{an}一定是等比数列．(　　) (3)常数列a，a，a，a，…一定是等比数列．(　　) (4)若数列通项公式为an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,3n，n≥2))，则{an}是等比数列．(　　) 提示：：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　) A．4　　　　　　　　B．8 C．6 D．32 解析：选C　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n-1，2n-1＝32，所以n＝6. 3.在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．5 解析：选A　设公比为q(q≠0且q≠1)， 由题知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝a1q2＝2，　①,a7＝a1q6＝8，　②)) eq \f(②,①)得q4＝4，故q2＝2， 则a5＝a3q2＝2×2＝4，故选A. 4．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是______． 解析：设公比为q，则3a1q3＝a1q5－2a1q4. 因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0， 解得q＝－1或q＝3. 答案：－1或3 题型一　等比数列通项公式的应用 [例 1]　在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：设首项为a1，公比为q. (1)法一：因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，)) 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q3＝2，　①,a1q6＝8.　②)) 由 eq \f(②,①)得q3＝4，从而q＝ eq \r(3,4)，而a1q3＝2， 于是a1＝ eq \f(2,q3)＝ eq \f(1,2)，所以an＝a1qn-1＝2 eq \s\up6(\f(2n－5,3)). 法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4, q＝ eq \r(3,4). 所以an＝a4qn-4＝2·( eq \r(3,4))n-4＝2 eq \s\up6(\f(2n－5,3)). (2)因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，　③,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9.　④)) 由 eq \f(④,③)得q＝ eq \f(1,2)，从而a1＝32，又an＝1， 所以32× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)＝1，即26-n＝20， 所以n＝6. [反思感悟] (1)等比数列通项公式的求法 ①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． ②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． (2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个． 　　在等比数列{an}中， (1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12； (2)若a3·a5＝18，a4·a8＝72，求q. 解：(1)因为a9＝a1·q8， 所以256·q8＝1，即q＝± eq \f(1,2). 当q＝ eq \f(1,2)时，a12＝a1·q11＝256× eq \f(1,211)＝ eq \f(1,8)； 当q＝－ eq \f(1,2)时，a12＝a1·q11＝256× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(11)＝－ eq \f(1,8). (2)a1·q2·a1·q4＝18，即a eq \o\al(2,1)·q6＝18. 又a1q3·a1q7＝72，即a eq \o\al(2,1)·q10＝72. 两式相除得q4＝ eq \f(72,18)＝4，所以q＝± eq \r(2). 题型二　等比数列的判定与证明 [例 2]　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ eq \f(1,3)(an－1)(n∈N＋). (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 解：(1)由S1＝ eq \f(1,3)(a1－1)， 得a1＝ eq \f(1,3)(a1－1)，所以a1＝－ eq \f(1,2)， 又S2＝ eq \f(1,3)(a2－1)，即a1＋a2＝ eq \f(1,3)(a2－1)，得a2＝ eq \f(1,4). (2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝ eq \f(1,3)(an－1)－ eq \f(1,3)(an－1－1)， 得 eq \f(an,an－1)＝－ eq \f(1,2)，又a1＝－ eq \f(1,2)≠0， 所以{an}是首项为－ eq \f(1,2)，公比为－ eq \f(1,2)的等比数列． [反思感悟] 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足 eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且不为零)或 eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [提醒]　不管用哪种方法判定等比数列都要先强调某一项不等于零．　 　1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列 解析：选C　{an＋bn}不一定是等比数列，如an＝1，bn＝－1， 因为an＋bn＝0，所以{an＋bn)不是等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p，q，因为 eq \f(an＋1bn＋1,anbn)＝ eq \f(an＋1,an)· eq \f(bn＋1,bn)＝pq≠0，所以{an·bn)一定是等比数列，故选C. 2．在数列{an}中，若a1＝1，且an＋1＝2an＋3(n∈N＋).证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明：∵an＋1＝2an＋3， ∴ eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝ eq \f(2an＋3＋3,an＋3)＝ eq \f(2(an＋3),an＋3)＝2. 又a1＝1，∴a1＋3≠0， ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3＝4，公比为2的等比数列． [课堂小结] 1．等比数列的通项公式an＝a1qn-1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量． 2．等比数列的判定或证明的主要方法是定义法，即 eq \f(an＋1,an)＝q(与n无关的常数q≠0).需强调的是需指出某项不等于零． $$