1.3.1 等比数列的概念及其通项公式 课件- 2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

等比数列的概念及其通项公式 1 （1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、 再拉抻、再捏合，如此反复几次,就拉成了许多根细面 条.这样拉抻、捏合8次后可拉出多少根细面条？ 第1次是1根，后面每次捏合都将1根变为2根， 第2次捏合成2×1 = 2（根）； 第3次捏合成2×2 = 22=4（根）； … 第8次捏合成2×26=27 = 128（根）. 前8次捏合成的面条根数构成一个数列 1,2,4,8,16,32,64,128. ① 创设情境 2 （2）星火化工厂今年产值为a万元，计划在以后5年中每年 比上一年产值增长10%,试列出从今年起6年的产值（单位：万元）. 第1年产值：a； 第 2 年产值：a+a×10%=a(1+10%)； 第 3 年产值：a(1+10%)+a(1+10%)×10%=a(1+10%)2； … 第 6 年产值：a（1 + 10%）4+a（1 + 10%）4×10%=a（1 + 10%）5. 故这6年的产值构成一个数列 a,a(1 + 10%),a(1+10%)2,a(1+10%)3,a(1+10%)4,a(1+10%)5. ② 创设情境 观察 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列相邻两项之间 有什么共同特征？ 1,2,4,8,16,32,64,128. ① ② a,a(1 + 10%),a(1+10%)2,a(1+10%)3,a(1+10%)4,a(1+10%)5. 创设情境 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的比等于 同一个常数； 我们把具有这种特征的数列叫等比数列 创设情境 概念形成 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母q来表示. 符号语言： 例1：以下数列中，哪些是等比数列？ （1） （2）1，1，2，4，8； （3）1，2，4，8，16，32； （4）a，a2，a3，…，an. （5） 解：（1）是等比数列，公比q= ； （2）因为 ，所以该数列不是等比数列； （3）是等比数列，公比q=2； （4）当a≠0时，它是公比q=a的等比数列， 当a=0时，它不是等比数列； 例题讲解 （5）不是等比数列，不满足等比数列的定义。 合作探究 注意： （1）等比数列中，各项不能为零； （2）公比q一定是后一项比前一项所得，而不能用前一项比后一项来求， 且公比不能为零； （3）若q=1,则该数列为非零常数列； （4）常数列 合作探究 问：请同学们回忆等差数列的通项公式推导方法 有哪些呢？ 不完全归纳法和累加法 追问：类比等差数列的通项公式的推导方法， 能否推导等比数列的通项公式？ 等差数列 …… 由此归纳等差数列 的通项公式可得： 类比 等比数列 …… 由此归纳等比数列的通项公式： (不完全归纳法） 法二：累加法 …… +） 等差数列 类比 累乘法 等比数列 …… ×） 共n – 1 项 概念形成 等比数列的通项公式： (1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列． (2)在公式an=a1qn-1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中 任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量． 通项公式： （1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、 再拉抻、再捏合，如此反复几次,就拉成了许多根 细面条.这样拉抻、捏合8次后可拉出多少根细面条？ 第1次是1根，后面每次捏合都将1根变为2根， 第2次捏合成2×1 = 2（根）； 第3次捏合成2×2 = 22=4（根）； … 第8次捏合成2×26=27 = 128（根）. 前8次捏合成的面条根数构成一个数列 1,2,4,8,16,32,64,128. ① 创设情境 13 （2）星火化工厂今年产值为a万元，计划在以后5年中每年比 上一年产值增长10%,试列出从今年起6年的产值（单位：万元）. 第1年产值：a； 第 2 年产值：a+a×10%=a(1+10%)； 第 3 年产值：a(1+10%)+a(1+10%)×10%=a(1+10%)2； … 第 6 年产值：a（1 + 10%）4+a（1 + 10%）4×10%=a（1 + 10%）5. 故这6年的产值构成一个数列 a,a(1 + 10%),a(1+10%)2,a(1+10%)3,a(1+10%)4,a(1+10%)5. ② 创设情境 单调递减 单调递增   单调递减 单调递增 不变 单调递减 单调递增 不变 单调递增 单调递减 不变 思考交流：根据指数函数的单调性，分析等比 数列的增减性。 思考交流 分析： 如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G应该满足什么条件？ 由a,G,b成等比数列得： 反之： 若G2=ab， 则 即a,G,b成等比数列 所以a,G,b成等比数列 等比中项： 如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么 G称为a与b的等比中项,此时G2=ab. 等比中项概念的理解 (1)只有同号的两个实数才有等比中项. (2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数. 概念形成 例题讲解 例2：等比数列 中， ， ，求 的值. ① ② 解：由题意知 将①式代入②式，得 q2+q-6=0，解得q=-3或2. 当q=-3时，a8=a1q7=2×（-3）7=-4374. 当q=2时，a8=a1q7=2×27=256. 故该数列的第8项是-4374或256. 例3：在各项均为负数的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5= . (1)求证：数列{an}为等比数列，并求出它的通项公式; (2)试问- 是数列{an}中的项吗?若是,指出是第几项?如果不是， 说明理由。 课堂小结 1. 等比数列的定义 2. 等比数列的通项公式及推导方法 3. 等比中项的定义 4. 等比数列的定义及通项公式的应用 1.在等比数列中, (1)若=27,,求? (2)若=18,=8,求和? 课后作业 2.习题1.3 谢谢 (2)设an=-,则-=-()n-2,()n-2=()4,n=6,所以-是该数列的项,为第6项. 解 (1)因为2an=3an+1, 所以,数列{an}是公比为的等比数列. 又a2·a5=,所以)5=()3,由于数列的各项均为负数,故a1=-,an=-()n-2. $$