第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质及其应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §2　等差数列 §2．1　等差数列 第2课时　等差数列的性质及其应用 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（四） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 等间隔 d<0 d>0 斜率 d＝0 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 等差 前一项 后一项 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 2at 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（四） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项． 2．掌握等差数列的增减性并能运用等差数列的性质解决问题． 1.借助等差中项的学习，提升数学抽象的核心素养． 2．通过等差数列性质的探究性应用，培养逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等差数列与一次函数的关系 [问题]　给出等差数列{an}：1，5，9，13，…，其通项公式是什么？从函数的角度看，an是关于n的什么函数？其图象有什么特点？该数列的增减性如何？ 答：通项公式为an＝4n－3；an是关于n的一次函数，其图象是直线y＝4x－3上的一群孤立的点，显然是递增函数． ►知识填空 从函数角度研究等差数列 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些 的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的 ，即自变量每增加1，函数值增加d. 当 时，{an}为递增数列，如图甲所示． 当 时，{an}为递减数列，如图乙所示． 当 时，{an}为常数列，如图丙所示． 知识点二　等差中项 [问题 1]　若三个数a，b，c成等差数列，那么它们之间的关系应如何表示？ 答：b－a＝c－b，即2b＝a＋c. [问题 2]　等差数列中的任意连续三项之间的关系？ 答：2an＝an－1＋an＋1. ►知识填空 等差中项 1．定义 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成 数列，那么A叫作a与b的等差中项．并且A＝ ． 2．结论 在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的 与 的等差中项． eq \f(a＋b,2) 知识点三　等差数列项的性质 ►知识填空 等差数列项的性质 1．等差数列的项的对称性：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 2．项的个数相同的前提下，项数和相等，对应项之和相等，即在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则 ，特别地，若m＋n＝2t，则am＋an＝ ． am＋an＝ap＋aq [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个实数都有等差中项且唯一．(　　) (2)在等差数列的通项公式中，an是关于n的一次函数．(　　) (3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　) (4)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项仍构成等差数列．(　　) 提示：：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　) A．12　　　　　　　　　B．16 C．20 D．24 解析：选B　在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16. 3．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________． 解析：设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－6， 所以x1，x2的等差中项为A＝ eq \f(x1＋x2,2)＝－3. 答案：－3 4．已知{an}为等差数列，若a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，则a5＝________． 解析：由a2＝2a3＋1和a4＝2a3＋7两式相减得d＝3，故a2＝2(a2＋3)＋1，解得a2＝－7. 故a5 ＝a2＋3d＝－7＋9＝2. 答案：2 题型一　等差中项及其应用 [例 1]　(1)若3，x，y，z，12成等差数列，则x＋y＋z＝________． (2)一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数． 解析：(1)由等差中项的定义可知x＋z＝3＋12＝2y，即y＝ eq \f(15,2)，所以x＋y＋z＝2y＋y＝3y＝ eq \f(45,2). 答案： eq \f(45,2) (2)设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝35，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝±2，)) 所以所求三个数分别是1，3，5或5，3，1. [反思感悟] 三个数或四个数成等差数列的设法 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时， 方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解． 方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 　　　若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． 解：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得3m＋3n＝18， 即m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为 eq \f(m＋n,2)＝3. 题型二　等差数列性质的应用 [例 2]　(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值； (2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值； (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值． 解：(1)法一：设{an}的公差为d， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋14d＝25，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(3,2)，)) 故a25＝a1＋24d＝4＋24× eq \f(3,2)＝40. 法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40. 法三：因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40. (2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28. (3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41. [反思感悟] 在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助于a1，d建立方程组进行运算，这是最基本的方法；二是利用性质运算，运用等差数列的性质可简化计算，往往会有事半功倍的效果．　 　1．设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 解析：法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列， 所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35. 答案：35 2．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值． 解：{an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)， ∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝3a2＝15， ∴a2＝5，又a1a2a3＝80， ∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 题型三　等差数列的实际应用 [例 3]　某公司2019年经销一种电子产品，获利200万元，从2020年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不研发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将出现亏损？ 解：记2019年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年的获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司经销此产品将出现亏损． 设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20， 所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 由题意知数列{an}为递减数列，令an<0， 即an＝220－20n<0，得n>11， 即从第12年起，也就是从2030年开始，该公司经销此产品将出现亏损． [反思感悟] 解与等差数列有关的实际问题的策略 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 　《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　) A．1升　B． eq \f(67,66)升　C． eq \f(47,44)升　D． eq \f(37,33)升 解析：选B　设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}， 其首项为a1，公差为d，由条件得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，)) 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，)) 所以a5＝a1＋4d＝ eq \f(67,66). [课堂小结] 1．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． 2．等差数列{an}中，每隔相同的项数抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 4．在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题． $$