第1章 2.1 第1课时 等差数列的定义及通项公式（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §2　等差数列 §2．1　等差数列 第1课时　等差数列的定义及通项公式 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（三） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 2 d 公差 同一个常数 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 a1＋(n－1)d 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（三） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的判断与证明方法． 2．会归纳等差数列的通项公式，会运用通项公式解决一些简单问题． 1.借助等差数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助等差数列通项公式的求解与运用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等差数列的定义 [问题 1]　数列： (1)0，5，10，15，20. (2)48，53，58，63. (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5. (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 360. 以上四个数列有什么共同的特征？ 答：共同特征：从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数． [问题 2]　问题1中的数列的共同特征能不能用一个式子表示？ 答：能，如果用d表示那个常数，则可以表示成an＋1－an＝d. [问题 3]　类比函数的单调性，问题2中的数列的增减性如何？ 答：问题2中的数列是递增数列，它满足an＋1＞an. ►知识填空 等差数列的定义 对于一个数列，如果从第 项起，每一项与它的前一项的差都是 ，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的 ，通常用字母d表示． 由此定义可知，对等差数列{an}，有a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝…＝ ． 知识点二　等差数列的通项公式 [问题 1]　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，你能用a1和d表示出a2，a3，a4吗？ 答：a2－a1＝d，即a2＝a1＋d； a3－a2＝d，即a3＝a2＋d＝a1＋2d； a4－a3＝d，即a4＝a3＋d＝a1＋3d. [问题 2]　由问题1中的a2，a3，a4的表示，你能猜想等差数列的通项公式吗？ 答：猜想通项公式为an＝a1＋(n－1)d. ►知识填空 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝ ． [拓展]　公差为d的等差数列中an与am的关系： an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋). [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列.(　　) (2)若数列{an}满足an－an－1＝d(d是常数)，则{an}是等差数列．(　　) (3)若数列{an}满足an＋2－an＝3，则{an}是等差数列．(　　) (4)若a＋c＝2b，则实数a，b，c成等差数列．(　　) 提示：：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于(　　) A． eq \f(1,2)　　　　　　　　B．－ eq \f(1,2) C．1 D．－1 解析：选C　∵a3＝5，a6＝8，∴d＝ eq \f(a6－a3,3)＝1. 3．已知{an}为等差数列，若a1＝6，a3＋a5＝0，则数列{an}的通项公式为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝6，a3＋a5＝0， 所以2×6＋6d＝0，解得d＝－2. 所以an＝6－2(n－1) ＝8－2n. 答案：an＝8－2n 4．在等差数列{an}中，已知a5＝11，d＝－2，an＝1，则n＝________． 解析：因为a5＝11，d＝－2， 所以a1＋4×(－2)＝11， 所以a1＝19， 所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21. 令－2n＋21＝1，得n＝10. 答案：10 题型一　等差数列的定义 [例 1]　(多选)下列命题中正确的是(　　) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．数列{2n＋1}是等差数列 D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 解析：选BC　A中，数列是公差为－2的等差数列；B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列． [反思感悟] 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数． 　　　(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1，1，1，1，1　　　　B．4，7，10，13，16 C． eq \f(1,3)， eq \f(2,3)，1， eq \f(4,3)， eq \f(5,3) D．－3，－2，－1，1，2 解析：选ABC　由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；B项，d＝3，故是等差数列；C项，d＝ eq \f(1,3)，故是等差数列；D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列． 题型二　等差数列的通项公式及应用 [例 2]　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； (2)已知数列{an}为等差数列，a3＝ eq \f(5,4)，a7＝－ eq \f(7,4)，求a15的值． 解：(1)法一：∵a4＝7，a10＝25， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝7，,a1＋9d＝25，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3.)) ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 即通项公式an＝3n－5(n∈N＋). 法二：由a7＝a3＋(7－3)d，即－ eq \f(7,4)＝ eq \f(5,4)＋4d， 解得d＝－ eq \f(3,4). ∴a15＝a3＋(15－3)d＝ eq \f(5,4)＋12× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－ eq \f(31,4). [反思感悟] 等差数列通项公式的应用 (1)等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量． (2)若所求问题中的条件与结论的联系不明显，则可把所给条件都化为有关a1和d的方程组，解方程组可求a1和d.　 　在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：(1)因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝15，,a1＋16d＝39，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝7，,d＝2，)) 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项． (2)设{an}的公差为d， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋d＝11，,a1＋7d＝5，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝－1.)) 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋， 所以a10＝13－10＝3. 题型三　等差数列的判定与证明 [例 3]　(1)判断下列数列是否为等差数列． ①an＝3n＋2；②an＝n2＋n. (2)在数列{an}中，a1＝0，a2＝1，当n≥2时， eq \f(an＋1,an)＝ eq \f(n,n－1).求证：数列{an}是等差数列． 解：(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列． ②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2 ＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列． (2)证明：当n≥2时，由 eq \f(an＋1,an)＝ eq \f(n,n－1)，得(n－1)an＋1＝nan， 所以nan＋2＝(n＋1)an＋1，两式相减得 nan＋2－ (n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan， 整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1， 所以an＋2＋an＝2an＋1，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an， 又因为a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1， 所以数列{an}是等差数列． [反思感悟] 1．定义法判定等差数列 (1)条件：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)或an－an－1＝d(常数)(n>1，n∈N＋). (2)结论：{an}是等差数列． (3)应用范围：通常用于解答题． 2．通项公式法判定等差数列 (1)条件：数列{an}的通项公式满足函数关系式an＝kn＋b (k，b是常数). (2)结论：{an}是等差数列． (3)应用范围：通常用于选择、填空题． [提醒]　当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数)，无法说明数列{an}是等差数列，因为a2－a1不一定等于d.　 　已知函数f(x)＝ eq \f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)确定． (1)求证： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列； (2)当x1＝ eq \f(1,2)时，求x100. 解：(1)证明：xn＝f(xn－1)＝ eq \f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2，n∈N＋)， 所以 eq \f(1,xn)＝ eq \f(xn－1＋3,3xn－1)＝ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,xn－1)， eq \f(1,xn)－ eq \f(1,xn－1)＝ eq \f(1,3)(n≥2，n∈N＋). 所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列． (2)由(1)知 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))的公差为 eq \f(1,3). 又因为x1＝ eq \f(1,2)，即 eq \f(1,x1)＝2. 所以 eq \f(1,xn)＝2＋(n－1)× eq \f(1,3)， eq \f(1,x100)＝2＋(100－1)× eq \f(1,3)＝35.所以x100＝ eq \f(1,35). [课堂小结] 1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (2)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需要举出一个反例即可． 2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量． $$