第1章 1.2 数列的函数特性（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §1 数列 §1．2　数列的函数特性 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（二） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 图象(平面直角坐标系内的一串点) an＋1<an an＋1>an (k，ak)，k＝1，2，3，… 都相等 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（二） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.掌握数列的函数特性． 2．会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性． 1.通过学习数列的函数特性，培养直观想象的核心素养． 2．通过判断数列的增减性，提升逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　数列的函数特性 [问题 1]　数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？ 答：数列也可以用图象、列表来表示． [问题 2]　以数列2，4，6，8，10，12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ 答：(1)通项公式法：an＝2n. (2)列表法： n 1 2 3 … k … an 2 4 6 … 2k … (3)图像法： [问题 3]　类比函数的单调性，问题2中的数列的增减性如何？ 答：问题2中的数列是递增数列，它满足an＋1＞an. ►知识填空 1．数列的图象 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用 来表示数列，图象中每个点的坐标为 这个图象也称为数列的图象． 2．数列的增减性 递增数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即 ，那么这个数列叫作递增数列． 递减数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即 ，那么这个数列叫作递减数列． 常数列 如果数列{an}的各项 ，那么这个数列叫作常数列． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值．(　　) (2)函数y＝f(x)为减函数，则数列an＝f(n)必为递减数列.(　　) (3)0，1，0，1，…是常数列．(　　) (4)数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)))是递增数列．(　　) 提示：：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是(　　) A.一条直线　　　　　B．一条抛物线 C.一个圆 D．一群孤立的点 解析：选D　∵an＝3n－2，n∈N＋， ∴数列{an}的图象是一群孤立的点． 3．已知数列{an}的通项公式是an＝ eq \f(n＋2,n＋1)，则这个数列是(　　) A.递增数列 B．递减数列 C.常数列 D．摆动数列 解析：选B　数列{an}的通项公式是 an＝ eq \f(n＋2,n＋1)＝ eq \f(n＋1＋1,n＋1)＝1＋ eq \f(1,n＋1)， 所以an＋1－an＝ eq \f(1,n＋2)－ eq \f(1,n＋1)<0， 故这个数列为递减数列． 4．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小值是________． 解析：an＝n2－6n＝(n－3)2－9，所以当n＝3时，an取得最小值－9. 答案：－9 题型一　图象法判断数列的增减性 [例 1]　已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(2,2n－9)，画出它的图象，并判断增减性． 解：图象如图所示，该数列在1≤n≤4，n∈N＋上是递减的，在n≥5，n∈N＋上也是递减的． [反思感悟] 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而判断数列的增减性． 　　根据下面3个数列的通项公式，分别作出它们的图象，并判断它们是递增数列还是递减数列． (1)an＝－ eq \f(n,4)；(2)bn＝ eq \f(2n,3)；(3)cn＝ eq \f((－1)n,n). 解：(1)图象如图①，由图象知数列{an}为递减数列． (2)图象如图②，由图象知数列{bn}为递增数列． (3)图象如图③，由图象观察表示数列{cn}的各点在横轴上、下摆动，它不是递增数列，也不是递减数列． 题型二　定义法判断数列的增减性 [例 2]　已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \r(n)－ eq \r(n＋1)，求证：此数列为递增数列． 证明：法一：an＋1－an＝( eq \r(n＋1)－ eq \r(n＋2))－( eq \r(n)－ eq \r(n＋1))＝2 eq \r(n＋1)－( eq \r(n＋2)＋ eq \r(n)). ∵(2 eq \r(n＋1))2－( eq \r(n＋2)＋( eq \r(n))2 ＝4n＋4－(n＋2＋n＋2 eq \r(n(n＋2))) ＝2(n＋1)－2 eq \r(n(n＋2)) ＝2( eq \r((n＋1)2)－ eq \r(n(n＋2))) ＝2( eq \r(n2＋2n＋1)－ eq \r(n2＋2n))>0， 即an＋1>an，∴数列{an}是递增数列． 法二： eq \f(an＋1,an)＝ eq \f(\r(n＋1)－\r(n＋2),\r(n)－\r(n＋1)) ＝ eq \f(\r(n)＋\r(n＋1),\r(n＋1)＋\r(n＋2))<1. ∵an<0，∴an＋1>an，∴数列{an}是递增数列． [反思感悟] 用定义法判断数列的增减性时，用数列的后一项减去前一项an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列，这与判断函数单调性的作差法非常相似．　　 已知数列{an}的通项公式为an＝a· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)(a≠0且为常数)，试判断数列的单调性． 解：an－an－1＝－a· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)(n≥2，n∈N＋)， 当a>0时，an－an－1<0，即an<an－1， 由递减数列的定义知，数列{an}是递减数列； 当a<0时，an－an－1>0，即an>an－1， 由递增数列的定义知，数列{an}是递增数列． 题型三　数列增减性的应用 [例 3]　已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(9n(n＋1),10n)(n∈N＋).试问数列{an}有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由． 解：∵an＋1－an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n＋1)·(n＋2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n)·(n＋1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n＋1) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((n＋2)－\f(10,9)(n＋1)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n＋1)· eq \f(8－n,9)， ∴n≤7时，an＋1－an>0，an＋1>an； n＝8时，an＋1－an＝0，an＋1＝an； n≥9时，an＋1－an<0，an＋1<an. 故存在最大项，最大项为a8＝a9＝0.98×9. [反思感悟] (1)求数列的最大项，首先判断数列的单调性或项的增减特征，确定最大项的项数后求出相应的项． (2)求参数的范围，由数列的单调性，列出关于an＋1，an的不等式，利用不等式及函数知识求范围，其中分离参数是常用的解题技巧．　 1．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((3－a)x－3，x≤7，,ax-6，x>7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((3－a)n－3，n≤7，,an-6，n＞7，)) 因为数列{an}是递增数列，所以 当n≤7时，3－a>0，即a<3； 当n>7时，a>1； 且a7<a8，即(3－a)×7－3<a8-6， 解得a>2或a<－9. 故a的取值范围为2<a<3. 答案：(2，3) 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N＋，∴n＝2，3， ∴数列中有两项是负数． (2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2))) eq \s\up12(2)－ eq \f(9,4)，可知对称轴方程为n＝ eq \f(5,2)＝2.5. 又∵n∈N＋，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 法二：设第n项最小，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1，)) 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n2－5n＋4≤(n＋1)2－5(n＋1)＋4，,n2－5n＋4≤(n－1)2－5(n－1)＋4.)) 解得2≤n≤3，∴n＝2，3，∴a2＝a3且最小， ∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. [课堂小结] 1．数列的常用表示法 因为数列是特殊函数，同函数一样，所以数列的常用表示方法有三种：①通项公式法；②图象法；③列表法． 2．数列单调性与函数单调性的区别与联系 (1)联系：若函数f(x)在区间[1，＋∞)内单调，则数列f(n)也单调．反之不正确． (2)区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替．数列单调性的定义：只需比较相邻的an与an＋1的大小来确定单调性． $$