第1章 1.1 数列的概念（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §1 数列 §1.1　数列的概念 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（一） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 一定次序 第n项an 第1项a1 每一个数 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 {an} 有限 无限 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 正整数集N＋(或其子集) 解析式 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（一） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.通过实例理解数列及其相关概念，了解数列是一种特殊的函数． 2．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 3．掌握数列通项公式的应用． 1.通过数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过数列通项公式的学习及应用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　数列及其相关概念 [问题 1]　按顺序分别写出满足下列条件的数： (1)正整数1，2，3，4，5，6的倒数； (2) －1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂； (3)正整数1，2，3，4，5，6，…的平方． 答：(1)1， eq \f(1,2)， eq \f(1,3)， eq \f(1,4)， eq \f(1,5)， eq \f(1,6). (2)(－1)1，(－1)2，(－1)3，(－1)4. (3)12，22，32，42，52，62，… [问题 2]　问题1中的几列数有顺序吗？可以前后交换位置吗？ 答：有顺序．不能交换位置． [问题 3]　问题1中的几列数有什么共同的特点？ 答：(1)都是一列数；(2)都有一定的顺序． ►知识填空 1．数列及其相关概念 数列 按 排列的一列数叫作数列． 项 数列中的 叫作这个数列的项． 续表 首项 数列的 常称为首项． 通项 数列中的 ，叫作数列的通项． 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…. (2)字母表示：上面数列也记为 ． 3．数列按项的个数分类 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 知识点二　数列与函数的关系、数列的通项公式 [问题 1]　函数y＝7x＋9与y＝3x，当依次取1，2，3，…时，其函数值能构成数列吗？ 答：能构成数列，分别是数列16，23，30，37，…；3，6，9，12，…. [问题 2]　观察数列1， eq \f(1,2)， eq \f(1,3)， eq \f(1,4)， eq \f(1,5)，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？ 答：该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，公式an＝ eq \f(1,n)可表示这个数列． [问题 3]　如果知道了数列的每一项都可以用an＝ eq \f(1,n)表示，这个数列的第10项是多少？第100项呢？ 答：第10项为a10＝ eq \f(1,10)，第100项为a100＝ eq \f(1,100). ►知识填空 1．数列与函数的关系 数列可以看作定义域为 的函数． 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的 ． an＝f(n) eq \a\vs4\al([点睛]) 同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如 eq \r(3)精确到1，0.1，0.01，…的不同近似值构成数列1，1.7，1.73，1.732，…就没有通项分式．　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}．(　　) (2)数列中的项互换次序后还是原来的数列.(　　) (3){an}与an的意义一样，都表示数列．(　　) (4)利用数列的通项公式可以求出数列的任何一项．(　　) 提示：：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知数列－1， eq \f(1,4)，－ eq \f(1,9)，…，(－1)n eq \f(1,n2)，…，则它的第5项的值为(　　) A． eq \f(1,5)　　　　　　　B．－ eq \f(1,5) C． eq \f(1,25) D．－ eq \f(1,25) 解析：选D　当n＝5时，(－1)n eq \f(1,n2)＝－ eq \f(1,25). 3．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：选C　由前6项，可知从第3项起，每一项都是它前面两项的和，所以x＝13. 4．数列 eq \f(1,4)， eq \f(1,2)， eq \f(3,4)，1， eq \f(5,4)， eq \f(3,2)，…的一个通项公式为an＝________． 解析：将原数列变形为 eq \f(1,4)， eq \f(2,4)， eq \f(3,4)， eq \f(4,4)， eq \f(5,4)， eq \f(6,4)，…，所以an＝ eq \f(n,4). 答案： eq \f(n,4) 题型一　根据数列的前几项求通项公式 [例 1]　写出下列数列的一个通项公式： (1) eq \f(1,2)，2， eq \f(9,2)，8， eq \f(25,2)，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)9，99，999，9999，…； (4)4，0，4，0，4，0，…. 解：(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一成分数再观察： eq \f(1,2)， eq \f(4,2)， eq \f(9,2)， eq \f(16,2)， eq \f(25,2)，…，所以它的一个通项公式为an＝ eq \f(n2,2). (2)数列各项的绝对值分别为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑(－1)n+1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n+1(2n－1). (3)各项加1后，分别变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1. (4)由于该数列中，奇数项全部都是4，偶数项全部都是0，因此可用分段函数的形式表示通项公式，即an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4，n为奇数，,0，n为偶数．))又因为数列可改写为2＋2，2－2，2＋2，2－2，2＋2，2－2，…，因此其通项公式又可表示为an＝2＋2×(－1)n+1. [反思感悟] 根据数列的前几项写通项公式的思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n+1处理符号． (4)对于周期出现的数列，考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数的知识解答． 　根据下面前几项的值，写出数列的一个通项分式： (1)3，5，7，9，11，13，…； (2) eq \f(2,3)， eq \f(4,15)， eq \f(6,35)， eq \f(8,63)， eq \f(10,99)，…； (3)0，1，0，1，0，1，…； (4)2，－6，12，－20，30，－42，…. 解：(1)从3开始的奇数列，an＝2n＋1. (2)分子为偶数，分母为相邻两奇数的积 an＝ eq \f(2n,(2n－1)(2n＋1)). (3)an＝ eq \f(1＋(－1)n,2). (4)将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，5×6，…， 所以an＝(－1)n+1n(n＋1). 题型二　数列通项公式的简单应用 [例 2]　已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(n＋6,n)，n∈N＋. (1)求a10； (2) eq \f(53,50)是不是这个数列中的项？ (3)这个数列中有多少项是整数？ (4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由． 解：(1)a10＝ eq \f(10＋6,10)＝ eq \f(8,5). (2)令 eq \f(n＋6,n)＝ eq \f(53,50)，得n＝100，故 eq \f(53,50)是这个数列中的项． (3)易知an＝1＋ eq \f(6,n)，若an是整数，则n＝1，2，3，6，故这个数列中共有4项是整数． (4)令 eq \f(n＋6,n)＝n，得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍).故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. [反思感悟] 求项或判断某数是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．　 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ (3)数列{an}中有多少个负数项？ 解：(1) a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝ eq \f(7,3)(舍去)， ∴n＝7，即－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，解得n＝ eq \f(34,3)或n＝－2. ∵ eq \f(34,3)∉N＋，－2∉N＋，∴68不是该数列的项． (3)an＝n(3n－28)，令an<0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项． [课堂小结] 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质 (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式． $$