4.2.1 指数函数的概念 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.1　指数函数的概念 同步练习 考点一　指数函数的概念及应用 1.若函数f(x)=(2k+1)x为指数函数,则实数k的取值范围是(　　) A.∪(0,+∞)　　B.∪ C.(-∞,0)∪　　D.∪ 2.若函数f(x)=ax是指数函数,则f=(　　) A.2　　B.3　　C.　　D.4 3.已知函数f(x)=4x,若f(b)=2f(a),则b-a=　　　　.  4.已知y=f(x),x∈R,且f(0)=3,=2,n∈N*,请写出f(x)的一个解析式:　　　　　　　.  考点二　指数型函数模型 5.(多选题)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系式为y=kat,其中k∈R且k≠0,a>0且a≠1,则下列说法正确的是(　　) A.浮萍每月增加的面积都相等 B.第6个月时,浮萍的面积会超过30 m2 C.浮萍从2 m2蔓延到64 m2只需经过5个月 D.若浮萍蔓延到4 m2,6 m2,9 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t3=2t2 6.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)的函数关系式为P=P0e-kt,其中P0,k都是正的常数,P0为污染物的初始含量,e=2.718 28….已知在过滤的前5 h消除了10%的污染物,前15 h消除了m%的污染物,则m=　　　　.  7.某种药物被服用后,在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程,已知在药物释放过程中,血液中的药物浓度y(μg/mL)与时间t(h)成正比,药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=kat(t≥2,a>0,且a≠1,k,a是常数),如图所示. (1)根据图象写出y关于t的函数表达式; (2)据测算,药物浓度不低于0.25 μg/mL时才有效,求该药物的有效时长. 答案 1.A　由f(x)=(2k+1)x为指数函数,得2k+1>0且2k+1≠1,解得k>-且k≠0,故k∈∪(0,+∞). 2.A　∵函数f(x)=ax是指数函数, ∴a-3=1且a>0,a≠1,解得a=8, ∴f(x)=8x,∴f==2. 3.答案　 解析　因为f(x)=4x,且f(b)=2f(a),所以4b=2×4a,即22b=21+2a,故2b=1+2a,所以b-a=. 4.答案　f(x)=3·(答案不唯一) 解析　根据=2可考虑指数型函数,设出方程求解即可. 设f(x)=a·bx(b>0且b≠1),由=2得=2,所以=2,故b=,又f(0)=3,故a·=3,则a=3,所以f(x)=3·. 5.BCD　将(1,1)和(3,4)代入函数关系式y=kat(k∈R且k≠0,a>0且a≠1),得∴ ∴函数关系式为y=×2t=2t-1. ∵函数图象呈曲线形,∴浮萍每月增加的面积不相等,因此A错误. 当t=6时,y=25=32,浮萍的面积超过了30 m2,因此B正确. 令y=2,得t=2,令y=64,得t=7,∴浮萍从2 m2蔓延到64 m2需要5个月,因此C正确. 依题意得=4,=6,=9,∵4×9=62,∴×=()2,因此=,∴t1+t3=2t2,因此D正确. 6.答案　27.1 解析　将t=5,P=0.9P0代入P=P0e-kt,得e-5k=0.9. 将t=15代入P=P0e-kt,得P=P0e-15k=P0=0.93P0=0.729P0, 所以前15 h消除了(1-0.729)×100%=27.1%的污染物,则m=27.1. 7.解析　(1)当0≤t<2时,y与t成正比,且对应图象过点(0,0)和(2,1),所以y=t. 当t≥2时,y=kat(a>0,且a≠1),且对应图象过点(2,1)和(4,0.5), 所以所以所以y=. 所以y= (2)当0≤t<2时,令t≥0.25,得0.5≤t<2; 当t≥2时,令≥0.25,得2≤t≤6. 因此当0.5≤t≤6时,药物有效,有效时长为6-0.5=5.5(h). 7 学科网（北京）股份有限公司 $$