第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（高效培优综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（高效培优综合训练）（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题p：“，”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（   ） A．真命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．假命题，， 【答案】B 【分析】求出的解，即可得出命题p的真假，进而写出命题p的否定. 【详解】由题意， 在命题p：“，”中， 因为，所以或， 故命题p为真命题，C，D错误； 命题p的否定为“，”，A错误，B正确． 故选：B. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，解得，所以， 又，所以， 故选：C. 3．“”是“函数的图象关于对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解. 【详解】若函数的图象关于对称， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件. 故选：A. 4．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【详解】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 5．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b，第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，由题意得，，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为a，右臂长为b，则． 设第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，则，， 故，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，所以，故两次称得重物的总重量大于20g． 故选：C. 6．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 7．已知等比数列的公比为，关于的不等式，下列说法正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为 C．当时，存在公比，使得不等式的解集为 D．存在公比，使得不等式的解集为 【答案】C 【分析】结合等比数列通项变形一元二次不等式，分类求解并判断. 【详解】不等式， 若，则，当或时，或； 当或时，或，当时，； 若，则，当或时，， 当或时，，当时，不等式无解， 因此当时，不等式无解，C正确，ABD错误；. 故选：C 8．已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将原不等式常变量分离，通过换元法，结合一元二次方程根的判别式法进行求解即可. 【详解】将不等式变形为，记，则问题转化为求的最大值问题． 中分子、分母同时除以正数，变形得， 令，则，整理得， 将方程看成关于的一元二次方程， 因为，所以方程一定有正实数解， 所以， 由，得，解得， 由，得， 由，得或， 所以， 所以的最大值为9，则，即的最小值为9． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于命题“”，下列说法正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且为真命题 B．该命题是存在量词命题，且为假命题 C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式判断命题的真假，结合全称量词、存在量词命题的概念及全称量词命题的否定为存在量词命题得出答案. 【详解】对于A，B，命题“”为全称量词命题， 不等式的解集为， 则成立，所以该命题为真命题，故A正确，B错误； 对于C，D，，故C错误，D正确． 故选：AD. 10．已知正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，直接利用基本不等式即可判断；对于B，消元法可求出的范围，即可判断；对于C，利用常值代换法，利用基本不等式即可求解；对于D，消元后利用基本不等式求得的范围即可判断. 【详解】对于A，因，则，即得，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B ，因，由可得，故在时取得最小值，，故B错误； 对于C，由，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，因，由，当且仅当时等号成立，由上分析，故有，即D正确. 故选：ACD. 11．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】已知，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可. 【详解】因为， 所以或， 当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（同上，舍去）， 此时． 综上． 故答案为：. 13．已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据已知条件得到，代入到要求的式子中，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 故答案为：. 14．若，且满足，则的最小值为 ；的最小值为 ． 【答案】 6 3 【分析】利用基本不等式得，解不等式即得的最小值；令，结合题设条件，通过换元将问题转化为：由，，求的最小值，再利用基本不等式即可得解. 【详解】∵， ∴，即， 故，解得或， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， 故的最小值为6． 令， 由，得， 即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为3． 故答案为：6；3. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若，且是的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由解出集合B及集合A，再求及； （2）由先算集合B，再由是的必要不充分条件，得集合A与集合B的包含关系，再解不等式组得到范围. 【详解】（1）当时，， ∵， ∴， ∴或. （2）当时，， ∵是的必要不充分条件，∴真包含于，如图. ∴其中等号不同时成立， 解得. 故的取值范围是. 16．定义关于的新运算：，其中，为非零常数. (1)当，时，求的值； (2)当时，求不等式组的解集. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由新运算定义结合题意可得答案. （2）由，可得.则可将化为： ，据此可得答案. 【详解】（1）由题可知，， 解得. （2）由题可知，即. 又， 即，解得； ， 整理得， 解得或，所以解集为或. 17．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 18．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”． (1)若，，求和． (2)若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件． 【答案】(1)， (2)，，，． 【分析】（1）根据新定义直接运算求解； （2）设，，，，则，，，先化简，再运用基本不等式求的范围，即可求解． 【详解】（1）由题意可得，， ． （2）设，，，， 则，，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围为． 若取到最大值，则，即， 可得，即，所以，． 19．对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，并证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 【答案】(1)“上位点”为，“下位点”为； (2)是，证明见解析； (3)，理由见解析. 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标. （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”. （3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值. 【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为． （2）点是点的“下位点”． 证明如下：点是点的“上位点”，． 又均大于0，，， ，即， 点是点的“下位点”． （3）若点是点的“上位点”，可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． 证明如下：点是点的“上位点”，， 均大于0，，， ， 即，点是点的“上位点”． 同理可得，即， 点是点的“下位点”． 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． 要使点是的“上位点”，则，解得，，所以当时，点是的“上位点”， 根据题意知，点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对恒成立， 根据上述结论可知，当，时，满足条件． 故． 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（高效培优综合训练）（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题p：“，”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（   ） A．真命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．假命题，， 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．“”是“函数的图象关于对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 6．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 7．已知等比数列的公比为，关于的不等式，下列说法正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为 C．当时，存在公比，使得不等式的解集为 D．存在公比，使得不等式的解集为 8．已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于命题“”，下列说法正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且为真命题 B．该命题是存在量词命题，且为假命题 C． D． 10．已知正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 11．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，若，则 ． 13．已知，则的最小值为 ． 14．若，且满足，则的最小值为 ；的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若，且是的必要不充分条件，求m的取值范围. 16．定义关于的新运算：，其中，为非零常数. (1)当，时，求的值； (2)当时，求不等式组的解集. 17．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 18．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”． (1)若，，求和． (2)若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件． 19．对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，并证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $$