第三章 函数的概念与性质 综合讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3章 函数的概念与性质 综合训练 考点1　函数的三要素 1.已知函数f(x)的定义域为R, f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(　　) A. f(10)>100　　 B. f(20)>1 000 C. f(10)<1 000　　D. f(20)<10 000 2.函数f(x)=+的定义域是　　　　　　　　.   考点2　分段函数的应用 3.已知f(x)=x2,g(x)=则g(x)≤2-x的x的取值范围为　　　　.  4.已知函数f(x)=则f=　　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　.  5.设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　　;a的最大值为　　　　.  考点3　函数的基本性质及运用 6.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　) A. f(x-1)-1　　B. f(x-1)+1 C. f(x+1)-1　　D. f(x+1)+1 7.函数f(x)=的图象为(　　) 　　 8.(多选题)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(xy)=yf(x)+xf(y),则下列说法正确的是(　　) A. f(0)=0 B. f(x)是偶函数 C.若f(2)=2,则f=- D.若当x>1时, f(x)>0,则g(x)=在(0,+∞)上单调递增 9.(多选题)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R,都有f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),且f(-2)=f(1)≠0,则下列说法正确的是(　　) A.g(0)=1 B.函数f(2x-1)的图象关于点对称 C.g(1)+g(-1)=1 D.若f(1)=,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=0 10.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)=(　　) A.-3　　B.-2　　C.0　　D.1 考点4　幂函数及其应用 11.设函数f(x)=x3-,则f(x)　　(　　) A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增　　 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增　　 D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减 12.已知a,c∈R,函数f(x)=. (1)若a=0,求函数的定义域,并判断是否存在c使得f(x)是奇函数,说明理由; (2)若函数f(x)的图象过点(1,3),且与x轴负半轴有两个不同交点,求此时c的值和a的取值范围. 13.已知函数f(x)=ax2+bx+c(b>a),∀x∈R, f(x)≥0恒成立,则的最大值是　　　　.  14.已知函数f(x)的定义域为R, f(1)=2,且对于任意实数m,n,有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x>0时, f(x)>1. (1)求f(-1)的值; (2)求证: f(x)在定义域R上单调递增; (3)求证: f(x)-1为奇函数. 15.已知函数f(x)=x2+2mx-6在区间[-1,2]上单调. (1)求实数m的所有取值组成的集合A; (2)试写出f(x)在区间[-1,2]上的最大值g(m); (3)在(1)(2)的条件下,若h(x)=x+1,令F(m)=若对任意m1,m2∈,总有|F(m1)-F(m2)|≤a+3,求a的取值范围. 16.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为D,若对任意的x1,x2∈D(x1≠x2),都有|g(x1)-g(x2)|<|f(x1)-f(x2)|成立,则称函数g(x)是函数f(x)在D上的“L函数”. (1)若f(x)=4x+3,g(x)=2x,D=R,判断函数g(x)是不是函数f(x)在D上的“L函数”,并说明理由; (2)若f(x)=2x2-1,g(x)=,D=[0,+∞),函数g(x)是函数f(x)在D上的“L函数”,求实数m的取值范围; (3)试比较|a|+|b|和|a+b|(a,b∈R)的大小,并证明:若f(x)=x,D=[0,2],函数g(x)是函数f(x)在D上的“L函数”,且g(0)=g(2),则对任意的x1,x2∈D(x1≠x2),都有|g(x1)-g(x2)|<1. 答案 1.B　　　因为当x<3时, f(x)=x,所以f(1)=1, f(2)=2, 又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2), 所以f(3)>f(2)+f(1)=3, f(4)>f(3)+f(2)>5, f(5)>f(4)+f(3)>8,依此类推得f(6)>13, f(7)>21, f(8)>34, f(9)>55, f(10)>89, f(11)>144, f(12)>233, f(13)>377, f(14)>610, f(15)>987, f(16)>1 597>1 000,则依次下去可知f(20)>1 000,但f(10), f(20)无上界,故一定正确的是B. 2.答案　{x|x≤1且x≠0} 解析　要使f(x)=+有意义, 则解得x≤1且x≠0, ∴f(x)的定义域为{x|x≤1且x≠0}. 3.答案　(-∞,1] 解析　根据题意知g(x)= 所以当x≥0时,g(x)≤2-x⇒x2+x-2≤0,所以x∈[0,1]; 当x<0时,g(x)≤2-x⇒-x2+x-2≤0,所以x∈(-∞,0). 综上所述,x的取值范围是(-∞,1]. 4.答案　;3+ 解析　∵f=-+2=>1, ∴f=f=+-1=. 由解得-1≤x≤1, 由解得1<x≤2+, ∴不等式1≤f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤2+}, ∴b-a的最大值为2+-(-1)=3+. 5.答案　1(答案不唯一);1 解析　当a=0时, f(x)=易知f(x)的最小值为0; 当a=1时, f(x)=易知f(x)的最小值为0; 当a>1时,作出f(x)的图象,如图1所示, 由图1可知f(x)无最小值; 当0<a<1时,作出f(x)的图象,如图2所示, 由图2可知f(x)的最小值为0; 当a<0时,作出f(x)的图象,如图3所示, 由图3可知f(x)无最小值. 综上,a可取[0,1]内的任意实数,a的最大值为1. 　　 6.B　解法一:f(x)=-1+,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度可得函数f(x-1)+1的图象,且该图象关于点(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数. 解法二:选项A, f(x-1)-1=-2,此函数既不是奇函数也不是偶函数;选项B, f(x-1)+1=,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=,此函数既不是奇函数也不是偶函数;选项D, f(x+1)+1=,此函数既不是奇函数也不是偶函数. 7.D　函数f(x)=的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)==-=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数,A选项错误; 当x<0时, f(x)=≤0,C选项错误; 当x>1时, f(x)===x-,易知f(x)单调递增,B选项错误. 8.ACD　因为f(xy)=yf(x)+xf(y),所以令x=y=0,得f(0)=0,故A正确; 令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0, 令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以f(-1)=0, 令y=-1,得f(-x)=-f(x)+xf(-1),又f(-1)=0,所以f(-x)=-f(x), 又因为f(x)的定义域为R,所以函数f(x)是奇函数,故B错误; 令x=y=2,得f(4)=2f(2)+2f(2)=4f(2)=8, 令x=4,y=,得f(1)=f(4)+4f, 所以f=-f(4)=-,故C正确; 当x,y>0时,由f(xy)=yf(x)+xf(y),可得=+, 又g(x)=,所以g(xy)=g(x)+g(y), ∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则g(x1)-g(x2)=g(x1)-g=g(x1)-g(x1)-g=-g, 又0<x1<x2,所以>1,g=>0,故g(x1)<g(x2), 所以g(x)=在(0,+∞)上单调递增,故D正确. 9.ABD　对于A,令x=y=0,得f(0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)=0, 令x=1,y=0,得f(1)=f(1)g(0)-g(1)f(0)=f(1)g(0),又f(1)≠0,∴g(0)=1,故A正确; 对于B,令x=0,得f(-y)=f(0)g(y)-g(0)f(y), 将f(0)=0,g(0)=1代入上式,得f(-y)=-f(y),即f(-x)=-f(x),又f(x)的定义域为R,∴函数f(x)为奇函数,其图象关于(0,0)对称, ∴函数f(2x-1)的图象关于点对称,故B正确; 对于C,令x=1,y=-1,得f(2)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1),∵f(-1)=-f(1), ∴f(2)=f(1)[g(-1)+g(1)],又∵f(2)=-f(-2)=-f(1),∴-f(1)=f(1)[g(-1)+g(1)], ∵f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1,故C错误; 对于D,令y=-1,得f(x+1)=f(x)g(-1)-g(x)f(-1),令y=1,得f(x-1)=f(x)g(1)-g(x)f(1), 两式相加得f(x+1)+f(x-1)=-f(x), ∴f(x+2)+f(x)=-f(x+1),即f(x)=-f(x+1)-f(x+2), 故-f(x)+f(x)=f(x+1)+f(x-1)-f(x+1)-f(x+2)=0,即f(x-1)=f(x+2),∴f(x)=f(x+3), ∴f(x)为周期函数,且周期为3,∵f(1)=,∴f(-2)=,∴f(2)=-f(-2)=-, f(3)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=f(2 023)+f(2 024)=f(1)+f(2)=+=0,故D正确. 10.A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),则f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1), 故f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=f(x), 故函数f(x)的周期为6, 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)⇒f(0)=2, 则f(2)=f(1)-f(0)=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-2, f(4)=f(3)-f(2)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=1, f(6)=f(5)-f(4)=2, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3. 11.A　由函数y=x3和y=-都是奇函数,知函数f(x)=x3-是奇函数.由函数y=x3和y=-都在区间(0,+∞)上单调递增,知函数f(x)=x3-在区间(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)=x3-是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增. 12.解析　(1)若a=0,则f(x)==x++1, 要使函数有意义,则x≠0,即f(x)的定义域为{x|x≠0}, ∵y=x+是奇函数,y=1是偶函数, ∴函数f(x)=x++1既不是奇函数也不是偶函数,故不存在实数c,使得f(x)是奇函数. (2)若函数f(x)的图象过点(1,3),则f(1)===3,得3a+2+c=3+3a,得c=1, 此时f(x)=,若函数f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同的交点, 则=0即x2+(3a+1)x+1=0有两个不相等的负根,且x≠-a,设g(x)=x2+(3a+1)x+1, 则解得a>, 若x=-a是方程x2+(3a+1)x+1=0的根, 则a2-(3a+1)a+1=0,即2a2+a-1=0,得a=或a=-1, 则实数a的取值范围是a>且a≠, 即a∈∪. 13.答案　 解析　若f(x)≥0恒成立,则 即 所以≤==≤==, 当且仅当即b=c=4a时取等号,故的最大值为. 14.解析　(1)令m=n=0,则f(0)=f(0)+f(0)-1,得f(0)=1, 令m=1,n=-1,则f(0)=f(1)+f(-1)-1=1, 即f(-1)=2-f(1)=2-2=0. (2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)+f(x2-x1)-1, 即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1, 因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)>1,则f(x2)>f(x1), 所以函数f(x)在R上单调递增. (3)证明: f(x)-1的定义域为R,关于原点对称. 对于f(m+n)=f(m)+f(n)-1,令m=x,n=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)-1, 由(1)知f(0)=1,所以1=f(x)+f(-x)-1, 所以f(x)-1=-f(-x)+1=-[f(-x)-1], 即f(x)-1为奇函数. 15.解析　(1)函数y=f(x)的图象的对称轴方程为x=-m,因为f(x)在区间[-1,2]上单调,所以-m≥2或-m≤-1,解得m≤-2或m≥1, 所以A=(-∞,-2]∪[1,+∞). (2)由(1)知m≤-2或m≥1. 当m≤-2时,函数f(x)在[-1,2]上单调递减,所以g(m)=f(-1)=-2m-5; 当m≥1时,函数f(x)在[-1,2]上单调递增,所以g(m)=f(2)=4m-2. 综上,g(m)= (3)由(1)得A=(-∞,-2]∪[1,+∞),则∁RA=(-2,1), 又h(m)=m+1, 所以F(m)= 问题转化为当m∈时,F(m)max-F(m)min≤a+3恒成立. ①当-<a≤-2时,F(m)在上单调递减,所以F(m)max=F=2,F(m)min=F(a)=-2a-5, 由2-(-2a-5)≤a+3得a≤-4,与-<a≤-2矛盾. ②当-2<a<1时,F(m)在上单调递减,在(-2,a]上单调递增, 因为F=2>F(a)=a+1,所以F(m)max=F=2,F(m)min=F(-2)=-1, 由2-(-1)≤a+3得a≥0,故0≤a<1. ③当a≥1时,F(m)在上单调递减,在(-2,1)上单调递增,在[1,a]上单调递增, 因为F=2≤F(a)=4a-2,所以F(m)max=F(a)=4a-2,F(m)min=F(-2)=-1, 由4a-2-(-1)≤a+3得a≤,故1≤a≤. 综上可知,a的取值范围是. 16.解析　(1)g(x)是f(x)在D上的“L函数”.理由如下: 对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2, |g(x1)-g(x2)|=2|x1-x2|,|f(x1)-f(x2)|=4|x1-x2|, 显然有|g(x1)-g(x2)|<|f(x1)-f(x2)|, 所以函数g(x)是函数f(x)在D上的“L函数”. (2)因为函数g(x)是函数f(x)在D上的“L函数”,所以|g(x1)-g(x2)|<|f(x1)-f(x2)|即|-|<2|-|对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2)恒成立, 得<2|-|即+>对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2)恒成立, 易得+>2, 所以2≥,解得m≥,故m的取值范围是. (3)(|a|+|b|)2-|a+b|2=2|ab|-2ab, 当ab≥0时,(|a|+|b|)2-|a+b|2=2|ab|-2ab=0. 当ab<0时,(|a|+|b|)2-|a+b|2=2|ab|-2ab=-4ab>0. 综上,(|a|+|b|)2≥|a+b|2, 因为|a|+|b|≥0,|a+b|≥0,所以|a|+|b|≥|a+b|. 对于任意的x1,x2∈[0,2],不妨设x1>x2, (i)当0<x1-x2≤1时,因为函数g(x)是函数f(x)在[0,2]上的“L函数”, 所以|g(x1)-g(x2)|<|x1-x2|≤1,此时|g(x1)-g(x2)|<1成立; (ii)当x1-x2>1时,由x1,x2∈[0,2]得1<x1-x2≤2, 因为g(0)=g(2),函数g(x)是函数f(x)在[0,2]上的“L函数”, 所以|g(x1)-g(x2)|=|g(x1)-g(2)+g(0)-g(x2)|≤|g(x1)-g(2)|+|g(0)-g(x2)|<|x1-2|+|0-x2|=(2-x1)+x2=2-(x1-x2)<1, 此时|g(x1)-g(x2)|<1也成立. 由(i)(ii)可知,|g(x1)-g(x2)|<1恒成立. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$