3.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课件　2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第4课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 过教材　要点概览 a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向　　　  向　　　  上 下 初中五四制练案·数学·L J·九全 减小 增大 增大 减小 2 最小 最大 3 精讲练　新知探究 探究点一　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 [典例1] 下列关于抛物线y=x2-6x+7的说法,正确的是(　　) A.开口向下 B.对称轴是直线x=-3 C.顶点坐标是(-3,1) D.x<3时,y随x的增大而减小 D 4 D 5 探究点二　二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移 [典例2] 若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位,再沿铅直方向向上平移3个单位,则原抛物线对应的关系式应变为(　　) A.y=(x-2)2+3 B.y=(x-2)2+5 C.y=x2-1 D.y=x2+4 C 6 平移抛物线的关键是比对平移前后抛物线的顶点坐标,另外平移抛物线y=ax2+bx+c时,要先将其转化为顶点式. 7 探究点三　二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c之间的关系 [典例3] 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A.a<0,b<0,c>0 B.a>0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b>0,c>0 A 8 [变式2] 如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,其与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0),对称轴是直线x=1,有下列说法: ①2a>0; ②2a+b=0; ③3a+b+c>0. 其中正确的是　　　 　.(填序号)  ②③ 9 对于二次函数y=ax2+bx+c. (1)a,b的值共同决定了对称轴的位置,即a,b同号时对称轴在y轴左侧,a, b异号时对称轴在y轴右侧,可简记为“左同右异”. 当b=0时,对称轴为y轴. 10 (2)关注几个特殊点的坐标: (1,a+b+c);(-1,a-b+c);(2,4a+2b+c);(-2,4a-2b+c)等. 在求代数式的值或范围时,它们应用较广. 11 谢谢观赏！ 12 对称轴 直线x=　　　  顶点坐标 (-,　　　 ) 增减性 当x<-时,y随x的增大而　　　　;  当x>-时,y随x的增大而　　　  当x<-时,y随x的增大而 　　　　;  当x>-时,y随x的增大而 　　　  - 最值 当x=-时, y有　　　　值,  y最小= 当x=-时, y有　　　　值,  y最大= [变式1] 已知(-2,y1),(-,y2),(2,y3)是抛物线y=x2-x+c上的点,则 (　　) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y2<y3<y1 (3)若(x1,y1),(x2,y2)是抛物线上关于对称轴x=h对称的两点,则有|x1-h| =|x2-h|,y1=y2,对称轴为直线x=. $$1.二次函数y=ax2+k的图象与抛物线y=ax2的形状　　　,只是位置不同,二次函数y=ax2+k的图象可看成是由抛物线y=ax2向　　　　(k>0)或向 　　　　(k<0)平移　　　　个单位得到的.  过教材　要点概览 4　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第1课时　二次函数y=ax2+k的图象与性质 相同 上 下 |k| 初中五四制练案·数学·L J·九全 2.对于抛物线y=ax2+k,当a>0时,开口　　　　,对称轴是　　　　,顶点坐标是　　　　,当x>0时,y随x的增大而　　　　,当x<0时,y随x的增大而　　　.当a<0时,开口　　　,对称轴是　　　,顶点坐标是　　　　,当x>0时,y随x的增大而　　　　,当x<0时,y随x的增大而　　　　.  向上 y轴 (0,k) 增大 减小 向下 y轴 (0,k) 减小 增大 2 精讲练　新知探究 探究点一　二次函数y=ax2+k的图象与性质 [典例1] 关于二次函数y=-2x2+3,下列说法中正确的是(　　) A.它的图象开口方向是向上 B.当x<-1时,y随x的增大而增大 C.它的图象的顶点坐标是(-2,3) D.当x=0时,y有最小值3 B 3 [变式1] 已知抛物线y=x2-1. (1)写出该抛物线的开口方向和对称轴; (2)设该抛物线与x轴交于点A,B,求交点A,B之间的距离. 解:(1)由该抛物线的表达式为y=x2-1,知 该抛物线的开口方向为向上,对称轴为y轴. (2)把y=0代入y=x2-1,得x2-1=0, 解得x1=1,x2=-1, ∴AB=|x1-x2|=|1-(-1)|=2, 即交点A,B之间的距离为2. 4 (1)对于抛物线y=ax2+k,k决定着顶点在y轴上的位置,当k>0时,顶点在y轴的正半轴上;当k=0时,顶点是原点,此时抛物线是y=ax2;当k<0时,顶点在y轴的负半轴上. (2)抛物线y=ax2+k的对称轴是y轴,反之,对称轴是y轴的抛物线的表达式是y=ax2+k. 5 探究点二　二次函数y=ax2+k的图象的平移 [典例2] 在同一个直角坐标系中作出y=x2,y=x2-1的图象. (1)分别写出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标; (2)抛物线y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系? 解:在同一个直角坐标系中作出y=x2,y=x2-1的图象如图所示. (1)抛物线y=x2的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0); 抛物线y=x2-1的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-1). (2)抛物线y=x2-1可由抛物线y=x2向下平移1个单位得到. [变式2] 抛物线y=x2+k向上平移2个单位后与抛物线y=ax2重合, 则a+k=　　　　.  -1 6 (1)抛物线向上(下)平移多少个单位,y值就增加(减少)多少,即“上加下减”. (2)对于抛物线y=a1x2+k1与y=a2x2+k2,当a1=a2时,它们的形状相同,可以通过上下平移相互得到.反之,如果这两条抛物线的形状相同,那么必有|a1|=|a2|. 7 谢谢观赏！ 8 $$null1.抛物线y=a(x-h)2可以看成由抛物线y=ax2沿x轴平移得到的:当h>0时,向　　平移　　个单位;当h<0时,向　　 平移　　　　个单位.  2.抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线　　　　,顶点坐标为　　　　,当a>0时,开口向　 　,且x>h时,y随x的增大而　　　　,当x<h时,y随x的增大而　　 　;当a<0时,开口向　 　,且x>h时,y随x的增大而 　　　　,x<h时,y随x的增大而　　　　.  过教材　要点概览 第2课时　二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 右 h 左 |h| x=h (h,0) 上 增大 减小 下 减小 增大 初中五四制练案·数学·L J·九全 精讲练　新知探究 探究点一　二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 [典例1] 已知抛物线y=(x+h)2经过A(-1,n),B(3,n)两点. (1)求抛物线的对称轴; 2 (2)判断点P(-1,2)是否在此抛物线上. 解:(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1, ∴抛物线的表达式为y=(x-1)2, ∴当x=-1时,y=(-1-1)2=4, ∴点P(-1,2)不在此抛物线上. 3 [变式1] 对于二次函数y=-2(x+3)2的图象,下列说法正确的是(　　) A.开口向上 B.对称轴是直线x=3 C.当x>-4时,y随x的增大而减小 D.顶点坐标为(-3,0) D 4 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h,顶点坐标是(h,0),其图象可由抛物线y=ax2平移得到. 当a>0时,抛物线y=a(x-h)2的开口向上,在对称轴的左边,即x<h时,函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边,即x>h时,函数y随x的增大而增大.顶点是抛物线的最低点,此时,函数y取得最小值,即当x=h时,y最小=0. 5 当a<0时,抛物线y=a(x-h)2的开口向下,在对称轴的左边,即x<h时,函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边,即x>h时,函数y随x的增大而减小.顶点是抛物线的最高点,此时,函数y取得最大值,即当x=h时,y最大=0. 6 探究点二　二次函数y=a(x-h)2的图象的平移 7 [变式2] 如果将抛物线y=x2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是(　　) A.y=x2-1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2 C 8 将抛物线y=ax2向左平移h(h>0)个单位得到抛物线y=a(x+h)2,向右平移h(h>0)个单位得到抛物线y=a(x-h)2,简称为“左加右减”. 抛物线左右平移,顶点的横坐标改变,纵坐标不变,故对称轴改变,而最值不变. 9 谢谢观赏！ 10 解:(1)∵A,B两点的纵坐标相同, ∴抛物线的对称轴为直线x==1. [典例2] 二次函数y=(x-3)2与y=(x+1)2的图象分别是由二次函数y=x2的图象如何平移得到的? 解:y=(x-3)2的图象是由y=x2的图象向右平移3个单位得到的; y=(x+1)2的图象是由y=x2的图象向左平移1个单位得到的. $$抛物线y=a(x-h)2+k可以看成由抛物线y=ax2向上(下)和向右(左)平移得到的,平移的方向和距离由　　　　,　　　　决定.抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴为直线　　　　,顶点坐标为　　　　,当a>0时,开口向　 　;当a<0时,开口向　　　　.  第3课时　二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 h 过教材　要点概览 k x=h (h,k) 上 下 初中五四制练案·数学·L J·九全 精讲练　新知探究 探究点一　二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 解:(1)抛物线开口向上,对称轴为直线x=1. 2 (2)函数y有最大值还是最小值?请求出这个最大(或最小)值. (3)设抛物线与y轴的交点为P,求点P的坐标. 3 4 探究点二　二次函数y=a(x-h)2+k的图象的平移 D 未搞清楚平移的“基准”图象. 5 右 3 上 2 6 1.对于抛物线的平移问题,一般有两种解决方法:一是将问题转化为顶点的平移问题解决;二是直接利用抛物线的平移规律“左加右减,上加下减”解决. 7 2.抛物线的平移变换规律: 8 谢谢观赏！ 9 [典例1] 已知抛物线y=(x-1)2-2. (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴. 解:(2)∵a=>0且顶点坐标为(1,-2), ∴函数y有最小值,最小值为-2. (3)令x=0,则y=(0-1)2-2=-, ∴P. [变式] 已知抛物线y=(x+h)2+k的顶点坐标为(2,8),求抛物线与y轴的交点坐标. 解:∵抛物线y=(x+h)2+k的顶点坐标为(2,8),∴y=(x-2)2+8. 令x=0,则y=×4+8=10, ∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,10). [典例2] 若将抛物线y=-x2先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,得到新的抛物线,则新抛物线的表达式是(　　) A.y=-(x+3)2+2 B.y=-(x-3)2-2 C.y=(x+3)2-2 D.y=-(x+3)2-2 [典例3] 将二次函数y=(x+3)2-2的图象平移得到二次函数y=x2的图象的方法:先向　　　　 (填“左”或“右”)平移　　　 　个单位,再向 　　　　(填“上”或“下”)平移　　　　个单位.  $$