课时作业35 离散型随机变量的均值（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(三十五)　离散型随机变量的均值 [基础达标练] 1．已知某一随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为(　　) X a 7 9 P b 0.1 0.4 A.4　　　　　　　　　　B．5 C．6 D．7 解析：选A　根据分布列的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又EX＝a×0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4. 2．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于(　　) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4 解析：选C　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8. 又由EX＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6， 得a＋2b＝1.3， 解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 解析：选B　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2， 所以EX＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 4．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发球到3次为止．设某同学一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值EX＞1.75，则p的取值可以为(　　) A． B． C． D． 解析：选AB　根据题意，X的所有的可能取值为1，2，3，且P(X＝1)＝p， P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝p(1－p)2， 则EX＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3， 依题意有EX＞1.75， 则p2－3p＋3＞1.75， 解得p＞或p＜， 结合p的实际意义，可得0＜p＜， 结合选项可知A、B正确． 5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________． 解析：X的可能取值为3，2，1，0， P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P(X＝0)＝0.43＝0.064. 所以EX＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 答案：2.376 6．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表： X 1 2 3 P(ξ＝X) ？ ！ ？ 请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案，Eξ＝________． 解析：设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1.所以Eξ＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2. 答案：2 7．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求： (1)抽取次数X的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解：(1)由题意知，X取值为1，2，3. P(X＝1)＝；P(X＝2)＝×＝； P(X＝3)＝×＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P (2)EX＝1×＋2×＋3×＝1.5，即平均抽取1.5次可取到好电池． 8．为了整顿道路交通秩序，某地考试将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据： 处罚金额x (单位：元) 0 5 10 15 20 会闯红灯的 人数y 80 50 40 20 10 (1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？ (2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验． ①求这两种金额之和不低于20元的概率； ②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望． 解：(1)由条件可知，处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是－＝. (2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有C＝10种，满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为P(A)＝＝. ②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，分布列为： X 5 10 15 20 25 30 35 P EX＝5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＋35×＝20. [能力提升练] 9．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，这两次取出白球数X的均值为(　　) A．1 B． C．2 D．3 解析：选A　由题意可得，随机变量X的所有可能值为0，1，2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P EX＝0×＋1×＋2×＝1. 10．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是(　　) A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 600元 解析：选B　出海效益的均值为EX＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元). 11．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元． X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束). 设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450， 所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元). 答案：706 12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X＝“|a－b|的取值”，则X的均值EX为________． 解析：对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2CCC＝126条，X可取的值为0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，故EX＝. 答案： 13．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望). 解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝. (2)X的可能取值为200，300，400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300) ＝1－－＝. 故X的分布列为： X 200 300 400 P EX＝200×＋300×＋400×＝350. [素养拓展练] 14．在某卫视的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A，B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1 000元，答对问题B可获奖金2 000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A，B的概率分别为，. (1)记先回答问题A的奖金为随机变量X，则X的取值分别是多少？ (2)你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由． 解：(1)0元，1000元，3000元． (2)设先答A的奖金为X元，先答B的奖金为Y元． 则有P(X＝0)＝1－＝， P(X＝1000)＝×＝， P(X＝3000)＝×＝， 故EX＝0×＋1000×＋3000×＝＝750. 同理P(Y＝0)＝，P(Y＝2000)＝， P(Y＝3000)＝，故EY＝0×＋2000×＋3000×＝＝625. 由EX＞EY， 故选答A所获的奖金较多． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$