课时作业24 空间中的角（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十四)　空间中的角 [基础达标练] 1．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为(　　) A．　　　　　　　　B． C．－ D． 解析：选B　cos 〈a，n〉＝＝＝＝. 所以l与平面α所成角的正弦值为. 2．(多选)若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1，0，1)，v＝(－1，1，0).则这两个平面所成的二面角的度数是(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：选BD　∵cos 〈n，v〉＝＝－. ∴〈n，v〉＝120°. 故两平面所成的二面角为60°或120°. 3．如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是(　　) A． B． C． D． 解析：选D　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为1，A1(1，0，1)，M，D(0，0，0)，N，则＝，＝，cos 〈，〉＝＝0.∴〈，〉＝. 4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A　设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则A1(0，0，0)，E(1，2，0)，F(1，0，2)，＝(1，2，0)，＝(1，0，2)， 设平面A1ECF的一个法向量n＝(x，y，z)， 则即 令x＝－2，得y＝1，z＝1， 所以平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2，1，1).又A1B1的方向向量为(2，0，0)，设A1B1与截面A1ECF所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝， cos θ＝，∴tan θ＝. 5．在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为________． 解析：以D为坐标原点，分别为DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，连接BD，C1D，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，所以＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，2). 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1，). 设CD与平面BDC1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝. 答案： 6．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的平面角的余弦值为________． 解析： 取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系， 设BC＝1，则A，B，D. ∴＝，＝， ＝. 由于＝为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，∴cos 〈n，〉＝，∴二面角ABDC的平面角的余弦值为. 答案： 7．如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点． (1)求证：MN⊥平面A1BC. (2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小． 解： (1)证明：根据题意CA，CB，CC1两两垂直，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC＝BC＝CC1＝a，则B(0，a，0)，B1(0，a，a)，C(0，0，0)，C1(0，0，a)，A1(a，0，a)，M，N， 所以＝(a，－a，a)，＝(a，0，a)， ＝. 于是·＝0，·＝0， 所以MN⊥BA1，MN⊥CA1. 又BA1∩CA1＝A1，故MN⊥平面A1BC. (2)因为MN⊥平面A1BC，则为平面A1BC的一个法向量， 又＝(0，－a，a)，则cos 〈，〉＝＝＝，所以〈，〉＝60°. 故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°. 8． 如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的平面角的正弦值． 解： (1)以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)， 所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4). 所以cos 〈，〉＝＝＝. 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. (2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z). 因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)， 所以即取z＝1，得x＝2，y＝－2， 所以n1＝(2，－2，1)是平面ADC1的一个法向量． 取平面ABA1的一个法向量n2＝(0，1，0). 设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为θ， 由|cos θ|＝＝＝， 得sin θ＝. 因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的平面角的正弦值为. [能力提升练] 9．如图所示，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D AB E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　) A．1 B． C． D． 解析：选C　不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，∴|cos 〈，〉|＝＝＝，得λ＝.故选C. 10．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝ 90°， BC＝6，D，E分别是AC ，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE.若A′O⊥平面BCDE，则A′D与平面A′BC所成角的正弦值等于(　　) A． B． C． D． 解析：选D　 取DE的中点H，连接OH，OD，OE，则OH⊥OB.以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示．由题意，知OH＝1，DH＝2，DO＝，A′D＝2，∴OA′＝＝，∴A′＝(0，0，)，D(1，－2，0)，∴＝(1，－2，－).设A′D与平面A′BC所成的角为θ，∵平面A′BC的一个法向量为n＝(1，0，0)， ∴sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝. 11．已知三棱锥SABC中，底面为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，则直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________． 解析：建 立如图所示的空间直角坐标系，则S(0，0，3)，A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0). ∴＝(，1，0)，＝(，1，－3)，＝(0，2，－3). 设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z). 则 令y＝3，则z＝2，x＝，∴n＝(，3，2). 设AB与平面SBC所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝. 答案： 12．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D ABC，如图2所示． 则直线BC与平面ACD的位置关系为________，平面ACD与平面CDM的夹角的余弦值为________． 解析： ①由已知可得AC＝BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，从而BC⊥平面ACD. ②建立空间直角坐标系如图所示，则所以M(0，，0)，C(－，0，0)，D(0，0，)， 所以＝(，，0)，＝(，0，)， 设n1＝(x，y，z)为平面CDM的法向量， 则即 解得令x＝－1， 可得平面CDM的一个法向量为n1＝(－1，1，1). 又n2＝(0，1，0)为平面ACD的一个法向量， 所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝. 所以二面角A CD M的余弦值为. 答案：垂直　 13． 如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2. 如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2. 由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB. 由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PC⊥平面ABC. (2)如图 ，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz. 由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，2).取平面PAC的一个法向量＝(2，0，0).设M(a，2－a，0)(0＜a≤2)，则＝(a，4－a，0). 设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z). 由·n＝0，·n＝0 得 取y＝a，则z＝－a，x＝(a－4)，可得n＝((a－4)，a，－a)为平面PAM的一个法向量． 所以cos 〈，n〉＝ 由已知可得|cos (，n)|＝， 所以＝， 解得a＝或a＝－4(舍)， 所以n＝. 又＝(0，2，－2)， 所以cos 〈，n〉＝. 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为. [素养拓展练] 14．如图，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1. (1)设点E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB； (2)线段PD上是否存在一点N，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：取AD的中点M，连接EM，CM，则EM∥PA. ∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， ∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2， ∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°， ∴MC∥AB. ∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴MC∥平面PAB. ∵EM∩MC＝M， ∴平面EMC∥平面PAB. ∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB. (2) 过A作AF⊥AD，交BC于F，建立如图所示的坐标系， 则A(0，0，0)， B，C(，1，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)， 则＝(0，0，2)，＝(，1，0)， ＝(0，4，－2). 设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)， 所以即 取n＝(，－3，0)，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(0，4λ，－2λ)， 所以N(0，4λ，2－2λ)，所以＝(－，4λ－1，2－2λ)， ∴sin θ＝ ＝＝， ∴λ＝∈[0，1]， ∴N为PD的中点时，直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$