课时作业12 双曲线及其标准方程（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十二)　双曲线及其标准方程 [基础达标练] 1．平面内到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹(　　) A．椭圆　　　　　　　　B．线段 C．两条射线 D．双曲线 解析：选D　根据双曲线定义|MF1|－|MF2|＝±4且|F1F2|＝6＞4，∴点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线．且焦距为6，故选D. 2．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案：B 3．已知方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1，2) 答案：D 4．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 解析：选B　双曲线中a2＝16，a＝4，2a＝8. 由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8， 又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8， 解得|MF2|＝4. 5．设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________． 解析：∵＝，∴c＝a， 根据双曲线的定义可得 ＝2a， S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝4， 即|PF1|·|PF2|＝8， ∵F1P⊥F2P，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2， ∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2， 即a2－5a2＋4＝0，解得a＝1. 答案：1 6．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________． 解析：由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3. 答案：(－1，3) 7．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2). 解：(1)由已知得，c＝5，2a＝8，即a＝4. ∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9. ∵焦点在x轴上， ∴所求的双曲线的标准方程是－＝1. (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 则∴ ∴双曲线方程为－＝1. 8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，试求△MF1F2的面积． 解：(1)椭圆方程可化为＋＝1， 焦点在x轴上，且c＝， 故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则有解得a2＝3，b2＝2， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)因为点M在双曲线上，且|MF1|＝2|MF2|，所以点M在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，故|MF1|＝4，|MF2|＝2， 又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，cos ∠F1MF2＝＝， 所以sin ∠F1MF2＝， S△F1MF2＝×|MF1|·|MF2|×sin ∠F1MF2＝×4×2×＝2. [能力提升练] 9．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　当k＞3时，－＝1表示双曲线． 当－＝1表示双曲线，则(k－3)(k＋3)＞0， 则k＜－3或k＞3. 故k＞3是－＝1表示双曲线的充分不必要条件． 10．(多选)已知点P是双曲线E：－＝1右支上的一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A．点P的横坐标为 B．△PF1F2的周长为 C．∠F1PF2小于 D．△PF1F2的内切圆半径为 解析：选ABCD　 设△PF1F2的内心I，连接IP，IF1，IF2， 双曲线E：－＝1， 得a＝4，b＝3，c＝5. 不妨设P(m，n)，m＞0，n＞0， 由△PF1F2的面积为20， 可得|F1F2|·n＝c·n＝5n＝20， 即n＝4. 由－＝1，可得m＝，故A正确． 由P且F1(－5，0)，F2(5，0). 可得|PF1|＝ ＝，|PF2|＝ ＝， cos ∠F1PF2＝＝＞， 则∠F1PF2＜.故C正确． △PF1F2的周长为＋10＝，故B正确． 设△PF1F2的内切圆半径为r，可得 r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝·|F1F2|·4， 可得r＝40，解得r＝，故D正确． 故选ABCD. 11．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________． 解析：椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝3，a2＋b2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)、B(－，4)，由点A在双曲线上知，－＝1. 解方程组得 ∴所求双曲线的方程为－＝1. 答案：－＝1 12．若F1，F2是双曲线C：x2－＝1(y≠0)的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝________，△PF1F2的面积S△PF1F2＝________． 解析：根据双曲线的定义，若|PF1|＝6，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2⇒|PF2|＝4或8，因为y≠0，而只有当P点落在x轴上时才会有|PF2|＝4，故舍掉． 所以|PF2|＝8. 易知三角形PF1F2是直角三角形， 故S△PF1F2＝×6×8＝24. 答案：8　24 13．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型． 解：(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； (2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线； (4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； (5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． [素养拓展练] 14．已知曲线C：＋＝1(t≠0，t≠±1). (1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点． 解：(1)当|t|＞1时，t2＞0，t2－1＞0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆； 当|t|＜1且t≠0时，t2＞0，t2－1＜0即－1＜t＜0或0＜t＜1，曲线C为双曲线． (2)证明：当|t|＞1时，曲线C是椭圆，且t2＞t2－1， 因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0).当|t|＜1时，双曲线C的方程为－＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1， ∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0). 综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$