专题2.3 用公式法求解一元二次方程（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点精讲练讲义

专题2.3 用公式法求解一元二次方程 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：公式法解一元二次方程 1 知识点梳理02：一元二次方程根的判别式 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：根据判别式判断一元二次方程根的情况 2 考点2：根据一元二次方程根的情况求参数 5 考点3：公式法解一元二次方程 9 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 20 知识点梳理01：公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点梳理02：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 考点1：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无实数根 B．当时，方程有两个不相等的实数根 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程有两个实数根 【答案】D 【思路引导】本题考查了根的判别式，当时，找出；当时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而可得出结论． 【规范解答】解：A、当时，原方程为，解得，故选项A不符合题意； B、当时，， 当时，， 所以，方程有两个相等的实数根，故选项B不符合题意； C、当时，， 所以，方程有两个不相等的实数根，故选项C不符合题意； D、当时，，方程有两个实数根，故选项D正确； 故选：D． 【变式训练1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】A 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况． 【规范解答】A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确． B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误． C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误． D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误． 故选A． 【变式训练2】（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求的值． (2)当时，求证：方程有两个实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可得，然后代入求解即可； （2）首先由得到，然后由判别式即可证明． 【规范解答】（1）把代入，得， ， ． （2）证明： ， ， 方程有两个实数根． 【变式训练3】（2025·广东东莞·模拟预测）已知方程（）是一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根小于，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟知方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键． （1）要证明方程总有两个不相等的实数根就是证明其判别式永远都是一个正数； （2）先求出原方程的两个实数根，根据方程有一根小于，列出不等式，求出的取值范围． 【规范解答】（1）证明：， 不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得， 方程有一根小于， 则，且， 解得． 考点2：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·河南开封·期中）我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值． (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)23 (2)且 【思路引导】本题考查了有理数的四则混合运算、一元二次方程根的判别式和定义，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义列出运算式子，再计算有理数的四则混合运算即可得； （2）先根据新运算的定义可得一个关于的方程，再根据一元二次方程根的判别式和定义求解即可得． 【规范解答】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵， ∴， ∵关于的方程有两个实数根，即关于的方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式，且， 解得且． 【变式训练1】（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【思路引导】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 故答案为①④． 【变式训练2】（24-25九年级上·重庆秀山·期中）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根的判别式，根据题意正确找出等量关系列式计算是解决本题的关键． 根据“百位数字使得一元二次方程有实数根”，得到列出关于的不等式，解之得到的取值范围，根据“各位数字之和大于小于得出各位数字之和为或，集合“勤劳数”的定义，分情况讨论可能的数，从而得到对应的“勤劳数”． 【规范解答】解：根据题意得：， 解得： ∵各位数字之和大于小于， 或， 又∵， (舍去)或， 若则，该数为， 若则，该数为， 答： 这个“勤劳数” 432或630， 满足条件的所有“勤劳数”的和是， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 【答案】(1)当时，方程的解为，， 当时，方程的解为， (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，三角形三边关系，勾股定理等知识，掌握一元二次方程相关知识是解题的关键． （1）由方程的判别式的值为可列方程，可得的值，再由的值解出方程； （2）由等腰三角形的腰是正数和三角形三边关系，确定腰长，根据勾股定理求得底边上的高，进而求得面积． 【规范解答】（1）解：方程的判别式的值为， ， 解得：， 当时，方程的解为，， 当时，方程的解为，； （2）解：等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根， 当时，方程的解为，，不符合题意， 等腰三角形的腰长是方程的解为，， 当腰为时，，不能构成三角形， 等腰三角形的腰长是， 设底边上的高为，由勾股定理得： ， 等腰三角形的面积为． 考点3：公式法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）解下列方程： (1)（用公式法）． (2)（用配方法）． 【答案】(1)，． (2)，． 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用公式法解方程，即可得到答案； （2）先将二次项系数化为1，再利用配方法解方程，即可得到答案． 【规范解答】（1） 解：, , ，． （2） 解： 或 解得：，． 【变式训练1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）（）用适当的方法解方程：． （）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】（），；（） 【思路引导】（）利用公式法解答即可； （）由一元二次方程根的定义可得，再化简代数式，最后把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的定义，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：（）∵，，， ∴， ∴， ∴，； （）∵是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 【变式训练2】（24-25九年级上·四川广安·期末）按要求解方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等是解题的关键． （1）根据配方法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【规范解答】（1）解：移项，得． 配方，得， ． ∴， ∴，． （2）解：，，． ． ∴， ∴，． 【变式训练3】24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为 ． 【答案】10或14 【思路引导】延长，至点G，使，连接，过点E做于点H，根据中位线的性质求出，然后根据正方形的性质得为等腰直角三角形，设，利用勾股定理表示出，在利用勾股定理及一元二次方程求出，再利用正方形的性质得出，即可解答． 【规范解答】解：延长，至点G，使，连接， 过点E做于点H， ∴ ， ∴点A是的中点， ∵F为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵正方形对角线，相交于点， ∴，， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ， 在中 ， ， 即 解得：，， 当时，， 当时，， 在中 ， ， ∴，或（不符合题意，舍去） 或， 综上所述的长为10或14． 故答案为：10或14 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 1．（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【规范解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 2．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 【规范解答】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【思路引导】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 5．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【规范解答】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 基础夯实 1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程的判别式． 通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况． 【规范解答】解： ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程有实根，得出，解不等式即可求解． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的情况，解题关键是掌握求一元二次方程根的情况的方法． 根据一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，列出式子求解． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【思路引导】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可 【规范解答】解：依题意得：， 整理得：， 解得：（舍去） 故选：B 5．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，得关于的不等式，求解即可． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴且， ∴， ∴且． 故答案为：且． 6．（24-25九年级上·云南临沧·阶段练习）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式解答即可． 【规范解答】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【规范解答】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且 故答案为：且 8．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）解下列一元二次方程． (1) (2) 【答案】(1)； (2)； 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法，包括直接开平方法和公式法．解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，直接开平方法适用于形如的方程，公式法适用于所有一元二次方程． （1）对于方程先移项将其化为再利用直接开平方法求解； （2）对于方程先确定二次项系数、一次项系数和常数项，再代入求根公式 计算． 【规范解答】（1）解：， ∴， 直接开方得：或， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ∴， ∴， ∴，． 9．（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)且 (2)10 【思路引导】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质； （1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围； （2）利用等腰三角形的性质，可得出，进而可得出，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出，的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论． 【规范解答】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； （2）解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 10．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，解题关键是用判别式判断根的情况，将根代入求参数，再化简代数式求值． （1）通过化简方程的判别式得出，根据，证得方程总有两个不等实数根． （2）把代入原方程，得，求出或；再化简代数式为，最后将的两个值分别代入化简式，计算得结果． 【规范解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根． （2）解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 培优拔高 11．（24-25九年级上·吉林·期中）若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式小于0时，方程无实数根计算即可． 【规范解答】解：原方程移项得， 其中，，， ∴， ∵关于x的一元二次方程：没有实数根， ∴，即， 解得， 故选：A． 12．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握使等式成立的未知数的值，是方程的解，以及判别式与根的个数的关系，是解题的关键． 根据，得到方程有一个根为：，即可得到；②根据有两个不相等的实根，得到，进而可以得到，即可得到方程必有两个不相等的实根；③根据是方程的一个根，得到，分和两种情况讨论，进行判断；④根据求根公式，进行变形判断即可． 【规范解答】解：①若，则方程有一个根为：，即方程有实数根， ∴，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则：， ， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③若是方程的一个根，则：， ， 当时：； 当时，不一定等于 0 ，故③错误； ④若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④； 故选：C． 13．（24-25九年级下·云南文山·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【思路引导】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x 的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根的判别式，分和两种情况，根据一元二次方程有实数根得到，进行求解即可． 【规范解答】解：当时，原方程化为：，解得：，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：； ∴且； 综上：． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）某学校有一矩形空地，长，宽，计划在这块空地上划出如图所示宽度（单位：m）相等的形区域建成花圃．已知花圃的面积为，则的值为 ． 【答案】10 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解决问题的关键． 由列出方程，解方程即可求出． 【规范解答】解：由题意，得， 即， 解得，． ， ， 不符合题意，舍去． 故答案为：． 16．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则满足的条件为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此可解． 【规范解答】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故答案为：． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】此题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是熟悉求根公式． （1）根据求根公式代入即可解得； （2）根据求根公式代入即可解得． 【规范解答】（1）解：， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（2025·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 19．（24-25九年级上·四川自贡·期末）中，． (1)如图①，是边上任意一点，以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接．若，则的度数为______； (2)如图②，是边上两点，点在点左边，． ①若，，，则______； ②若，请写出线段之间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1) (2)①；②，证明见解析 【思路引导】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理： （1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由旋转的性质求出的度数即可得到答案； （2）①以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接，仿照（1）可求出，再证明，得到 ，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案；②以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接，过点F作直线的垂线，垂足为G， 同理可得，同理证明；在中，求出，得到，再求出，在中，由勾股定理得，据此可得结论． 【规范解答】（1）解：∵在中，，， ∴； 由旋转的性质可得， ∴； （2）解：①如图所示，以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接， ∵在中，，， ∴； 由旋转的性质可得，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； ②，证明如下： 如图所示，以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接，过点F作直线的垂线，垂足为G， 同理可得， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图1，中，，若点C在射线上移动，将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，过点D作于点E． (1)求证：； (2)如图2，若，在延长线上取点M，连接，过点D作于点F，过点C作于点H，已知，求四边形的面积； (3)如图3，若，在延长线上取点M，连接，在延长线上取一点P，连接，已知，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)36 (3) 【思路引导】（1）利用旋转得到，，利用垂直的定义和余角的性质得到，再利用“”即可求证； （2）过D点作于G，证明，得到，，令，得，表示出，和四边形的面积，即可求解； （3）过M点作于K，设，则，，利用勾股定理表示出，，得出，再利用勾股定理得出，建立方程，解一元二次方程即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵中，， ∴ , ∵将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 如图，过D点作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 令， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， ∴四边形的面积四边形的面积 ； ∴四边形的面积为36； （3）由（1）可知， ∵将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 过M点作于K， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的长为． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质，涉及到了矩形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 用公式法求解一元二次方程 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：公式法解一元二次方程 1 知识点梳理02：一元二次方程根的判别式 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：根据判别式判断一元二次方程根的情况 2 考点2：根据一元二次方程根的情况求参数 3 考点3：公式法解一元二次方程 5 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 6 基础夯实 6 培优拔高 8 知识点梳理01：公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点梳理02：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 考点1：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无实数根 B．当时，方程有两个不相等的实数根 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程有两个实数根 【变式训练1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【变式训练2】（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求的值． (2)当时，求证：方程有两个实数根． 【变式训练3】（2025·广东东莞·模拟预测）已知方程（）是一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根小于，求m的取值范围． 考点2：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·河南开封·期中）我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值． (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【变式训练1】（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 【变式训练2】（24-25九年级上·重庆秀山·期中）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 【变式训练3】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 考点3：公式法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）解下列方程： (1) （用公式法）． (2)（用配方法）． 【变式训练1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）（）用适当的方法解方程：． （）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【变式训练2】（24-25九年级上·四川广安·期末）按要求解方程： (1) （配方法）； (2)（公式法）． 【变式训练3】24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为 ． 1．（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 2．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 3．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 5．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 基础夯实 1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 5．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·云南临沧·阶段练习）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ． 7．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）解下列一元二次方程． (1) (2) 9．（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 10．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 培优拔高 11．（24-25九年级上·吉林·期中）若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 13．（24-25九年级下·云南文山·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x 的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）某学校有一矩形空地，长，宽，计划在这块空地上划出如图所示宽度（单位：m）相等的形区域建成花圃．已知花圃的面积为，则的值为 ． 16．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则满足的条件为 ． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列一元二次方程： (1)． (2)． 18．（2025·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 19．（24-25九年级上·四川自贡·期末）中，． (1)如图①，是边上任意一点，以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接．若，则的度数为______； (2)如图②，是边上两点，点在点左边，． ①若，，，则______； ②若，请写出线段之间的数量关系，并进行证明． 20．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图1，中，，若点C在射线上移动，将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，过点D作于点E． (1)求证：； (2)如图2，若，在延长线上取点M，连接，过点D作于点F，过点C作于点H，已知，求四边形的面积； (3)如图3，若，在延长线上取点M，连接，在延长线上取一点P，连接，已知，且，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$