专题2.2 用配方法求解一元二次方程（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点精讲练讲义

专题2.2 用配方法求解一元二次方程 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直接开方法解一元二次方程 1 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 2 知识点梳理03：配方法的应用 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：解一元二次方程一直接开平方法 3 考点2：解一元二次方程一配方法 5 考点3：配方法的应用 7 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点梳理03：配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 考点1：解一元二次方程一直接开平方法 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法） (2)（用配方法） 【变式训练1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）对于三个不相等的实数，，，我们规定符号表示，，中的最大值，如：． (1)若，求的值； (2)当时，，直接写出的取值范围． 【变式训练2】（24-25九年级上·浙江台州·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）阅读与思考 蚂蚁和大象一样重吗？ 你一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！ 我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量也明显不是一个数量级的．但是下面的“推导”却让我们大吃一惊：蚂蚁和大象一样重！ 设蚂蚁的重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为克，即 两边同乘以，得， 即， 可变形为， 两边都加上，得， 于是， 得， 所以． 这里竟然得出了“蚂蚁和大象一样重”的结论，岂不荒唐！那么问题究竟出在哪里呢？ 请根据上述材料解决下列问题． (1)材料中得到“蚂蚁和大象一样重”错误结论的原因是什么？ (2)化简：当___________时，___________；当___________时，___________． (3)解方程． (4)如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，求点C的坐标． 考点2：解一元二次方程一配方法 【典例精讲】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）解下列方程： (1)；（开平方法） (2)． 【变式训练1】（24-25九年级上·河南南阳·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得 ……………………第一步 移项，得．……………………第二步 配方，得，即．……………………第三步 由此，可得．……………………第四步 所以，……………………第五步 任务一、填空： ①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 【变式训练2】24-25九年级上·安徽宿州·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分）．请仔细阅读并完成相应的任务· 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得，我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得． 任务： (1)上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为______，______，______，______； (2)请用“平均数法”解方程：． 考点3：配方法的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）小丽的思考：对于代数式，无论取何值，都大于等于，再加上，则代数式大于等于．根据小丽的思考解决下列问题： (1)试说明：代数式的最小值为． (2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值． 【变式训练1】（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【变式训练2】（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【变式训练3】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）【项目学习】配万法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式．进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（α，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”．例如，5是“雅美数”．理由：因为再如，（，是整数），所以M也是“雅美数”． (1)【问题解决】4，6，7，8四个数中的“雅美数”是 ； (2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（，是常数），求的值； (3)【问题拓展】已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）方程的解是 ． 3．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 4．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 5．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ． 基础夯实 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）将方程配方后，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东珠海·期末）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用配方法解一元二次方程时，步骤如下： ①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）一小球以的速度竖直向上弹出，它在空中的高度（单位：）与时间（单位：s）满足关系式．当 时，小球高度为． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1)． (2)； 9．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 10．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称；若关于x的多项式关于对称，求n的值； (2)若整式关于对称，求实数a的值． 培优拔高 11．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 12．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·河南商丘·二模）如图，为的高，，，．为求出的值，小聪把、分别沿、翻折后得，．延长与的延长线交于点，易得四边形为正方形，从而得出的长为 ． 17．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）公元8世纪波斯数学家花拉子米被誉为代数学之父，他在《代数学》中列举了这样一道例题： 根的3倍与简单数4的和等于一个平方．用现代数学语言表示为：．即如图所示，正方形的边长为，，将正方形分成面积为的矩形和面积为4的矩形，取中点，构造边长为正方形，延长到，使，则有正方形，此时显然有，即，可以很容易求得该方程的一个正根 ；若令，，则 ． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) （直接开平方法） (2) （配方法） 19．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 ［初步尝试］ （1）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； ［类比探究］ （2）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用的结论证明：； ［拓展延伸］ （3）运用 解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 用配方法求解一元二次方程 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直接开方法解一元二次方程 1 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 2 知识点梳理03：配方法的应用 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：解一元二次方程一直接开平方法 3 考点2：解一元二次方程一配方法 7 考点3：配方法的应用 11 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 22 知识点梳理01：直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点梳理03：配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 考点1：解一元二次方程一直接开平方法 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解一元二次方程； （1）两边开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可． 【规范解答】（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得：； （2）解：原方程整理得， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． 【变式训练1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）对于三个不相等的实数，，，我们规定符号表示，，中的最大值，如：． (1)若，求的值； (2)当时，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2或 (2) 【思路引导】本题考查的是与一元二次方程和一次函数的性质，能够理解新定义是解题的关键． （1）根据题意得出或，解方程即可求得的值； （2）根据当时，函数的值小于函数的值，解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， 或， 当时，， 则，不合题意， 当时，或， 则时，时，，符合题意； ∴若的值为2或； （2）解：∵， ， ， ， ， 对于，当时，， 对于，当时，， 由题意可知当时，在范围内，直线的图象在直线的下方， 所以的取值范围是：． 【变式训练2】（24-25九年级上·浙江台州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程整理，利用完全平方公式配方，利用配方法解一元二次方程即可得； （2）利用直接开平方法解一元二次方程即可得． 【规范解答】（1）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 所以方程的解为，； （2）解：， 开方得， ∴或， ∴或， 所以方程的解为，． 【变式训练3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）阅读与思考 蚂蚁和大象一样重吗？ 你一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！ 我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量也明显不是一个数量级的．但是下面的“推导”却让我们大吃一惊：蚂蚁和大象一样重！ 设蚂蚁的重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为克，即 两边同乘以，得， 即， 可变形为， 两边都加上，得， 于是， 得， 所以． 这里竟然得出了“蚂蚁和大象一样重”的结论，岂不荒唐！那么问题究竟出在哪里呢？ 请根据上述材料解决下列问题． (1)材料中得到“蚂蚁和大象一样重”错误结论的原因是什么？ (2)化简：当___________时，___________；当___________时，___________． (3)解方程． (4)如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，求点C的坐标． 【答案】(1)原因见解析 (2)；；； (3)， (4) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的性质和化简、直接开平方解一元二次方程、矩形的判定和性质、勾股定理，注意开平方后的符号是解题关键． （1）根据二次根式的性质和化简方法进行判断即可； （2）根据二次根式的性质，求解作答即可； （3）利用直接开平方解一元二次方程即可； （4）过点C作交于点D，得到，，然后利用勾股定理可得到点C的坐标． 【规范解答】（1）解：由题意知，， 两边开平方，得，， ∴， ∴材料中得到“蚂蚁和大象一样重”错误结论的原因是两边开平方计算错误． （2）解：当时，； 当时，； 故答案为：；；；． （3）解：， ∴， ∴或， 解得，． （4）解：过点C作交于点D，即， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理：， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点2：解一元二次方程一配方法 【典例精讲】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）解下列方程： (1)；（开平方法） (2)． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】（1）题目要求用开平方的方法，所有需要把等号左右两边都变成是完全平方的形式，再开平方即可求解； （2）一元二次方程的一次项系数是偶数，所以运用配方法解一元二次方程，根据步骤一步一步解答即可． 【规范解答】（1）解：． ， 或， 或 （2）解：， 移项得，， 配方得， 即， 或， 解得，． 【考点剖析】本题主要考查了一元二次方程的解法——直接开平方和配方法，解决此题的关键是要熟练掌握解一元二次方程的各种方法，进而选择最优的方法解决问题． 【变式训练1】（24-25九年级上·河南南阳·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得 ……………………第一步 移项，得．……………………第二步 配方，得，即．……………………第三步 由此，可得．……………………第四步 所以，……………………第五步 任务一、填空： ①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 【答案】任务一：①等式的基本性质；②；③四；没有正确运用平方根的意义 任务二：， 【思路引导】本题考查等式的性质，完全平方公式，平方根意义，配方法解一元二次方程等． 任务一：①利用等式的基本性质作答即可；②利用完全平方公式作答即可；③利用平方根意义作答即可； 任务二：配方法解一元二次方程即可． 【规范解答】解：任务一：①等式的基本性质；或填 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式 ②， ③ 四，没有正确运用平方根的意义； 任务二：解：原方程可化为：， 配方得：， 即 ， ∴， ∴ 或． 【变式训练2】24-25九年级上·安徽宿州·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案． 【规范解答】解：， ， ， ， A. ，符合： B. ，不符合： C. ，不符合： D. ，不符合： 故选：A． 【变式训练3】（24-25九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分）．请仔细阅读并完成相应的任务· 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得，我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得． 任务： (1)上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为______，______，______，______； (2)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1)5，2，， (2) 【思路引导】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识． （1）根据“平均数法”解一元二次方程即可求解； （2）根据“平均数法”解一元二次方程即可求解． 【规范解答】（1）解：解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得，． 故答案为：5，2，，； （2）解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得． 考点3：配方法的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）小丽的思考：对于代数式，无论取何值，都大于等于，再加上，则代数式大于等于．根据小丽的思考解决下列问题： (1)试说明：代数式的最小值为． (2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)17 【思路引导】本题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将利用完全平方公式配方后得，再利用平方结果为非负数求解即可； （2）将利用完全平方公式配方后得再利用平方结果为非负数求解即可． 【规范解答】（1）解： ． ． 故代数式的最小值为． （2）解：原式 无论取何值 故的最大值为． 【变式训练1】（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【思路引导】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【规范解答】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 【变式训练2】（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【规范解答】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 【变式训练3】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）【项目学习】配万法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式．进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（α，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”．例如，5是“雅美数”．理由：因为再如，（，是整数），所以M也是“雅美数”． (1)【问题解决】4，6，7，8四个数中的“雅美数”是 ； (2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（，是常数），求的值； (3)【问题拓展】已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)， (2)12 (3)见解析 【思路引导】本题考查的是配方法的应用； （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论． 【规范解答】（1）4是“雅美数”，理由：因为； 8是“雅美数”，理由：因为. 故答案为：4，8； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：12； （3）因为，为“雅美数”，则令，（，，，为整数） ∴ 又∵，，，为整数 ∴，均为整数 ∴是“雅美数”． 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【规范解答】解： 故选B． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）方程的解是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可得到答案． 【规范解答】解： 移项得：， 方程两边同时开方得：， 解得， 故答案为：． 3．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【规范解答】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 4．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 5．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ． 【答案】6 【思路引导】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案． 【规范解答】∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 【考点剖析】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 基础夯实 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查解一元二次方程——配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，并能灵活运用是解决此题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，需移项后加上一次项系数一半的平方． 【规范解答】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 因此，配方后的方程为选项B． 故选：B． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）将方程配方后，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查配方法，根据配方法的步骤，将常数项移动到等号的右侧，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行求解即可． 【规范解答】解：， ， ， ∴； 故选D． 3．（24-25九年级上·广东珠海·期末）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程，进行计算即可解答． 【规范解答】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 将代数式配方后，即求出结果． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 【答案】8 【思路引导】根据得故，类比，得到，解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方是解题的关键． 【规范解答】解：根据得， 故， 类比， 得到， 故． 故答案为：8． 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用配方法解一元二次方程时，步骤如下： ①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． 【答案】④ 【思路引导】根据配方法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． 【规范解答】解：解方程， ①； ②； ③； ④，即，． 故答案为：④． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）一小球以的速度竖直向上弹出，它在空中的高度（单位：）与时间（单位：s）满足关系式．当 时，小球高度为． 【答案】或 【思路引导】把代入关系式求解即可。 【规范解答】当时，，解得，．故当或时，小球的高度为。 【考点剖析】本题考查题意理解能力，解析式有了，代入已知的就能求出。 8．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 9．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)二，过程见解析 【思路引导】本题考查配方法解一元二次方程， （1）根据解答过程得出依据即可； （2）根据配方法判断即可； 掌握利用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【规范解答】（1）解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下： 正确过程如下： ， 解：移项，得：， 二次项系数化为，得：， 配方，得：， 变形，得：， 开方，得∶， 解得∶，． 10．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称；若关于x的多项式关于对称，求n的值； (2)若整式关于对称，求实数a的值． 【答案】(1)1； (2) 【思路引导】本题考查了配方法的应用． （1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解； （2）将整式进行配方，然后根据定义可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴多项式关于对称； 由题意得多项式， ∴多项式关于对称， ∵多项式关于对称， ∴， ∴； 故答案为：1，； （2）解： ， ∴关于对称， 又∵关于对称， ∴． 培优拔高 11．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 【答案】D 【思路引导】将代入方程中，得，再求解关于的方程即可． 本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 【规范解答】解：将代入方程中， 得， ∴， ∴， 解得或． 故选：D． 12．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用、配方法的应用，正确求得a、b值是解答的关键．根据“同族二次方程”的定义，第二个方程可表示为，展开后与题目给出的方程比较系数，求出和的值，再利用配方法求代数式的最小值． 【规范解答】解：由题意，方程可表示为，展开得：， 则，，， 解得，，， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式取得最小值， 故选：B． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【思路引导】本题考查了配方法的应用，掌握配方法、偶次方的非负性是解题的关键． 先求出的值，然后根据偶次方的非负性，判断出值的正负，进而判断出两者的大小关系． 【规范解答】解： ． ， ， ， ． 故答案为：C． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 通过配方法将方程变形为的形式，确定和的值后计算． 【规范解答】解：将原方程的常数项移到右边，得 配方，得即 则，． 故 故选：D． 15．（2025·河南商丘·二模）如图，为的高，，，．为求出的值，小聪把、分别沿、翻折后得，．延长与的延长线交于点，易得四边形为正方形，从而得出的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理等等，由折叠的性质可得 ，，，这可证明，进而可证明矩形是正方形，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：∵为的高， ∴ 由折叠的性质可得 ，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了直接开平方法，掌握直接开平方法解方程是解题的关键．根据直接开平方法求解方程即可． 【规范解答】解：， ， 或（舍去）， ， 或． 故答案为：或． 17．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）公元8世纪波斯数学家花拉子米被誉为代数学之父，他在《代数学》中列举了这样一道例题： 根的3倍与简单数4的和等于一个平方．用现代数学语言表示为：．即如图所示，正方形的边长为，，将正方形分成面积为的矩形和面积为4的矩形，取中点，构造边长为正方形，延长到，使，则有正方形，此时显然有，即，可以很容易求得该方程的一个正根 ；若令，，则 ． 【答案】 4 【思路引导】本题考查解一元二次方程，能够根据题意列出方程，利用直接开平方法求解方程是解题的关键． 由题意列出方程，利用直接开平方法解方程即可． 【规范解答】解：， ∴， ∴， 或， ∴该方程的一个正根； 由题意得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ， 故答案为：． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) （直接开平方法） (2) （配方法） 【答案】(1)，； (2)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1 ）将常数项移到等号右侧，利用直接开平方法求解即可； （2 ）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得． 【规范解答】（1）解：， ， ， ∴，； （2）， ， ， ， ∴，； 19．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路引导】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案； （2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ， ， 的最小值是3； （2）解： ， ，， ， 无论取任何实数时，多项式的值总为正数． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 ［初步尝试］ （1）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； ［类比探究］ （2）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用的结论证明：； ［拓展延伸］ （3）运用 解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 【答案】证明见解析； 证明见解析； ． 【思路引导】根据正方形的性质可得，，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 延长到使，连接，由可知，可得，，，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； 过点作垂足为点，可证四边形是正方形，根据、中的结论可知，设正方形的边长为，利用勾股定理列方程求出，再利用梯形的面积公求出四边形的面积． 【规范解答】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； 证明：如下图所示，延长到使，连接， 由可知， ，， 四边形是正方形， ， 又， ， ， 在和中， ， ； 解：如下图所示，过点作垂足为点， ，，， 四边形是正方形， 由可知， ，， ， 设正方形的边长为， 在中，， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， ，， ． 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质证明结论成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$