专题2.1 认识二元一次方程（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点精讲练讲义

专题2.1 认识二元一次方程 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一元二次方程的定义 1 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 2 知识点梳理03：一元二次方程的解（根） 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：一元二次方程的定义 2 考点2：化成—元二次方程的一般式 4 考点3：判断是否是一元二次方程 5 考点4：由一元二次方程的定义求参数 6 考点5：判断是否是一元二次方程的解 7 考点6：由一元二次方程的解求参数 8 考点7：一元二次方程的解的估算 9 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 17 知识点梳理01：一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点梳理03：一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 考点1：一元二次方程的定义 【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、当时，方程为，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选：． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，熟记一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程”是解题的关键． 【规范解答】解：、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程化简得，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的最高次数为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 【变式训练2】已知方程是关于的一元二次方程． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【思路引导】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可； （2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可. 【规范解答】解：化简，得 ． 方程是关于的一元二次方程，得 ，解得， 当时，方程是关于的一元二次方程； 由一次项系数为零，得． 则原方程是，即． 因式分解得， 解得，． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程. 考点2：化成—元二次方程的一般式 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【规范解答】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 【变式训练1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 移项，把等号右边化为0，即可． 【规范解答】解：， 移项，得， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【思路引导】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【规范解答】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 考点3：判断是否是一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【规范解答】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 【变式训练1】（21-22九年级上·北京大兴·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【规范解答】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C 【变式训练2】（24-25九年级上·广西玉林·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3， B．3，6， C．3，，1 D．3，6，1 【答案】A 【思路引导】考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．找出所求的系数及常数项即可． 【规范解答】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，，． 故选：A． 考点4：由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件． 根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即，且，解出m的值即可． 【规范解答】解：由题意可知：，且， 所以且．所以． 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级上·广西钦州·期末）关于x的一元二次方程的二次项系数是 ． 【答案】2 【思路引导】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义解答即可． 【规范解答】解：一元二次方程的二次项系数是2 故答案为：2 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【思路引导】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【规范解答】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 考点5：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【思路引导】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【规范解答】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【变式训练1】（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 【变式训练2】（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【规范解答】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 考点6：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的解，则（ ）． A． B． C．27 D．18 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体思想成为解题的关键． 把代入一元二次方程得到，再把变形为，然后利用整体代入计算即可． 【规范解答】解：把代入方程得：， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足一元二次方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入得到关于m的方程求解即可． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是1， ∴，即，解得：． 故选D． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再整体代入代数式即可求解，掌握一元二次方程的解的定义及整体代入法是解题的关键． 【规范解答】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原式， 故答案为：． 考点7：一元二次方程的解的估算 【典例精讲】24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【规范解答】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 【变式训练1】（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【思路引导】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【规范解答】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【变式训练2】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【规范解答】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 【考点剖析】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 1．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解． 【规范解答】解：∵一元二次方程的一个解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【规范解答】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 3．（2024·甘肃兰州·中考真题）是关于的一元二次方程的解，则（  ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【思路引导】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值 【规范解答】解：将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0， 得a+2b＝－1， 2a+4b＝2（a+2b） ＝2×（－1） ＝－2. 故选A. 【考点剖析】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键 4．（2023·四川遂宁·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【思路引导】根据一元二次方程的定义，再将代入原式，即可得到答案. 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， 则a的值为：． 故选D． 【考点剖析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 5．（2023·山东菏泽·中考真题）已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式的值． 【答案】4 【规范解答】解：∵m是方程x2−x−2=0的根， ∴m2−m−2=0，即m2−m=2，m2 −2=m． ∴． 基础夯实 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【思路引导】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．对各选项逐一判断即可． 【规范解答】解：选项A：方程中含有两个未知数和，不符合“一元”条件，排除． 选项B：方程可整理为，仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义． 选项C：方程中含分式，不是整式方程，排除． 选项D：方程为一次方程，最高次数为1，排除． 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【思路引导】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【规范解答】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 4．（24-25九年级上·吉林·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【规范解答】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由题意可得，，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知a是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2024 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，整理得到，再整体代入代数式进行计算即可． 【规范解答】解：∵a是方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若方程有实数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】根据非负数时，方程有实数解，得到，解答即可． 本题考查了一元二次方程有实数解的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【规范解答】解：方程有实数解， 则， 解得． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 9．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【答案】(1)该方程是“联合方程”，见解析 (2)的值为，的值为6 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【规范解答】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； （2）解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 【答案】(1)该方程是波浪方程 (2) 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． （1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【规范解答】（1）解：，，， ， 故该方程是波浪方程； （2）解：由已知得： 解得， 这个波浪方程为． 培优拔高 11．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若b是方程的一个解，且，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解、等式的性质等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 把代入方程得到，两边都除以b即可解答． 【规范解答】解：把代入方程得， ∵， ∴两边都除以b得：，即． 故选A． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（   ） A．2025 B． C．0 D．4050 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数是一元二次方程的解. 利用一元二次方程解的定义得到．移项得到的值，将整体代入表达式中计算即可． 【规范解答】解：已知是方程的根，代入得： 将代入所求表达式中： 故答案为：A． 13．（24-25八年级下·广西南宁·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（    ） A．10 B．12 C．8 D．14 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 设设，则，由勾股定理得，然后根据求出m，根据即可求出a． 【规范解答】解：∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 14．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【答案】（答案唯一）． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【规范解答】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程  的一个解是，则 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是利用整体代入的思想解决问题． 首先把代入已知方程中，然后利用整体代值的方法即可求解． 【规范解答】解：把代入， ， 即， ； 故答案为： 16．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【规范解答】解：把代入方程得，即， ∴， 故答案为：． 17．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【答案】， 【思路引导】本题考查分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 【规范解答】解： ， ∵x是方程的根， ∴， ∴原式． 18．（2024八年级下·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 【答案】都不对，见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，由是关于的方程的一个根可得，接着对进行因式分解为，可求出的值；根据方程是一元二次方程可知：二次项系数，据此可得到的取值． 【规范解答】解：两人的做法都不对． 不能直接约去，因为有可能有0． 正确的解答：把代入，化简，得 ， ， 或，， 解得或，． 是一元二次方程， ， 或． 19．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 【答案】(1)是勾系一元二次方程； (2)2． 【思路引导】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可． （2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键． 【规范解答】（1）根据定义，方程变形为， 得到， 且， 故方程是否为“勾系一元二次方程”． （2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， ∴， ∵四边形的周长是12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故的面积为2． 20．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【思路引导】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【规范解答】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 认识二元一次方程 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一元二次方程的定义 1 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 2 知识点梳理03：一元二次方程的解（根） 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：一元二次方程的定义 2 考点2：化成—元二次方程的一般式 3 考点3：判断是否是一元二次方程 3 考点4：由一元二次方程的定义求参数 3 考点5：判断是否是一元二次方程的解 4 考点6：由一元二次方程的解求参数 4 考点7：一元二次方程的解的估算 5 中考真题 实战演练 5 难度分层 拔尖冲刺 6 基础夯实 6 培优拔高 7 知识点梳理01：一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点梳理03：一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 考点1：一元二次方程的定义 【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知方程是关于的一元二次方程． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根． 考点2：化成—元二次方程的一般式 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 考点3：判断是否是一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练1】（21-22九年级上·北京大兴·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·广西玉林·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3， B．3，6， C．3，，1 D．3，6，1 考点4：由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【变式训练1】（24-25九年级上·广西钦州·期末）关于x的一元二次方程的二次项系数是 ． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 考点5：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【变式训练1】（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【变式训练2】（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 考点6：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的解，则（ ）． A． B． C．27 D．18 【变式训练1】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式训练2】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若是关于的方程的解，则的值为 ． 考点7：一元二次方程的解的估算 【典例精讲】24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【变式训练1】（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【变式训练2】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 1．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则 ． 2．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 3．（2024·甘肃兰州·中考真题）是关于的一元二次方程的解，则（  ） A． B． C．4 D． 4．（2023·四川遂宁·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（2023·山东菏泽·中考真题）已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式的值． 基础夯实 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 4．（24-25九年级上·吉林·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 5．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 6．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知a是方程的解，则代数式的值为 ． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若方程有实数解，则m的取值范围是 ． 8．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 9．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 培优拔高 11．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若b是方程的一个解，且，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（   ） A．2025 B． C．0 D．4050 13．（24-25八年级下·广西南宁·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（    ） A．10 B．12 C．8 D．14 14．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程  的一个解是，则 ． 16．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 17．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 18．（2024八年级下·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 19．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 20．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$