专题1.3 正方形的性质与判定（知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点精讲练讲义

专题1.3 正方形的性质与判定 （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：正方形的定义 2 知识点梳理02：正方形的性质 2 知识点梳理03：正方形的判定 3 知识点梳理04：中点四边形 3 知识点梳理05：菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：正方形性质理解 4 考点2：根据正方形的性质求角度 7 考点3：根据正方形的性质求线段长 9 考点4：根据正方形的性质求面积 12 考点5：正方形折叠问题 14 考点6：求正方形重叠部分面积 17 考点7：根据正方形的性质证明 19 考点8：正方形的判定定理理解 23 考点9：添一个条件使四边形是正方形 25 考点10：证明四边形是正方形 29 考点11：根据正方形的性质与判定求角度 31 考点12：根据正方形的性质与判定求线段长 34 考点13：根据正方形的性质与判定求面积 38 考点14：根据正方形的性质与判定证明 42 考点15：中点四边形 46 考点16：利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 48 考点17：(特殊）平行四边形的动点问题 51 考点18：四边形中的线段最值问题 55 考点19：四边形其他综合问题 57 中考真题 实战演练 61 难度分层 拔尖冲刺 69 基础夯实 69 培优拔高 79 知识点梳理01：正方形的定义 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 知识点梳理02：正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，有四条对称轴 中心对称图形，对称中心是对角线的交点 知识点梳理03：正方形的判定 知识点梳理04：中点四边形 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形． 2. 常见的中点四边形形状归纳 原四边形 中点四边形 任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形 两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形 两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形 两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形） 正方形 知识点梳理05：菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 正方形既是菱形，又是矩形． 菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是特殊的平行四边形．常见关系使用举例： 考点1：正方形性质理解 【典例精讲】（2025·江西·一模）如图，在正方形中，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中，画出以为底边的等腰，且； (2)在图2中，已知F是的中点，请画出以为边的正方形，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，无刻度直尺画图，掌握正方形的性质成为解题的关键． （1）如图（1）连接相交于O，连接并延长交与F，连接即可完成作图； （2）如图（2）连接相交于O，连接并延长交与H，连接并延长交与G，连接即可完成作图； 【规范解答】（1）解：如图（1）：等腰即为所求． ∵是正方形的对称轴， ∴， ∵，， ∴． ∴等腰即为所求． （2）解：如图（2）：正方形即为所求． ∵，， ∴，即正方形即为所求． 【变式训练】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点从出发以2个单位秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点P运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)四边形是矩形； (3)点P运动秒或秒时，四边形是正方形． 【思路引导】本题考查了待定系数法，平行四边形的性质和矩形，正方形的性质，能够将函数问题与几何问题相结合是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质求得点，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点E，F坐标，即可得出，即可得出结论； （3）先分两种情况（点Q在点P左侧或右侧）求出，利用建立方程即可求出时间． 【规范解答】（1）解：延长交轴于点， ∵，， ∴，轴， ∵点， ∴点，点， 设直线的解析式为， 把、代入得： ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 如图 ∵点A的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向左运动， ∴， ∴， ∴， ∵点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向右运动， ∴， ∴点， 由（1）知，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形 ∴四边形是矩形； （3）解：由（2）知，，，， ∴或， ∵四边形是正方形， ∴， ∴或， ∴或，即点P运动秒或秒时，四边形是正方形． 考点2：根据正方形的性质求角度 【典例精讲】（24-25九年级上·广东汕头·期中）四边形是正方形，旋转后与重合 (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转角等于多少度？ (3)试判断的形状． 【答案】(1)点B (2) (3)等腰直角三角形 【思路引导】本题主要考查了图形旋转的性质，包括旋转中心、旋转角的确定，以及利用旋转性质判断三角形形状 ．熟练掌握旋转前后对应点、对应边、对应角的关系是解题的关键． （1）找旋转中心，看旋转过程中位置不变的点，即对应点所围绕转动的点． （2）确定旋转角，找对应边的夹角，正方形中对应边的夹角是直角，从而确定旋转角． （3）判断三角形形状，依据旋转性质得对应边、对应角关系，再结合角度判断． 【规范解答】（1）解：∵ 旋转时，绕着点转动后与重合，点位置不变， ∴ 旋转中心是点． （2）解：∵与为对应边， ∴等于旋转角， ∴旋转角度是． （3）解：等腰直角三角形． 由旋转可知；与是对应边， ∴，， 则是等腰直角三角形． 【变式训练】（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，李蓁将一副三角尺（含和含的直角三角形）按如图所示的方式放置于正方形木框中，则的度数为 °． 【答案】 【思路引导】此题考查了正方形的性质.根据正方形的性质求出，根据三角形外角性质求出，最后根据平角定义求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 考点3：根据正方形的性质求线段长 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边上的动点，且始终满足，交于点．连接，求线段的最小值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，由正方形的性质得到，．证明，得到．则可证明，进而可得．取的中点，连接，则，根据，可得当C，P，O三点共线时，线段的值最小，最小值为的值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：四边形是正方形， ，． 在和中， ， ， ． ， ， ． 如图，取的中点，连接，则， ∵， ∴当C，P，O三点共线时，线段的值最小，最小值为的值． 在中，由勾股定理，得， ， ∴线段的最小值为． 【变式训练】（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【规范解答】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 考点4：根据正方形的性质求面积 【典例精讲】（2025·湖北·二模）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是和，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查正方形性质，等腰直角三角形性质及应用等．根据题意设大正方形边长为，则大正方形对角线为，得到，，均是等腰直角三角形，继而得到，，即可得到本题答案． 【规范解答】解：设大正方形边长为，则大正方形对角线为， 将图中进行命名如下： ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，均是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（21-22九年级上·辽宁朝阳·期末）在正方形中，，与相交于点O．如图，作射线与边相交于点E，将射线绕点O顺时针旋转，得到射线，射线与边相交于点F，连接交于点G． (1)直接写出四边形的面积是 ； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)16 (2)见解析 (3)5 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． （1）由“”可证可得，然后求出正方形面积的四分之一即可； （2）根据旋转的定义可知，再由（1）可得可得即可证明结论； （3）由面积关系可求，然后代入相关数据即可求的长． 【规范解答】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵射线绕点O顺时针旋转，得到射线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为16． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形． （3）解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 考点5：正方形折叠问题 【典例精讲】（24-25八年级下·山西运城·期中）综合与实践 如图，在边长为的正方形中（即，），连接，，，将三角形沿直线折叠，得到，延长交于点M． (1)连接，线段可以看做线段沿着的方向平移______后得到； (2)连接，猜想是否为直角三角形，并加以说明； (3)直接写出与的数量关系． 【答案】(1)4 (2)是，见解析 (3) 【思路引导】（1）证明四边形是矩形，根据平移的定义即可得到答案； （2）由折叠可知，证明，则，即可得到，得到结论； （3）设，则，，，在中，，列方程并解得，则，得到，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴线段可以看做线段沿着的方向平移后得到； 故答案为；4 （2）是，理由如下： ∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）设，则，， 由折叠可知，， ∴ 在中，， ∴， 解得， 即， ∴， ∴ 【考点剖析】此题考查了正方形的折叠问题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定和性质是关键． 【变式训练】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；在直角中，根据勾股定理即可求出的长． 【规范解答】解：如图，连接， ，， ， ， 设，则． 为中点，， ， 在中，根据勾股定理，得：， 解得． 则． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了正方形的翻折问题，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． 考点6：求正方形重叠部分面积 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的．根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【规范解答】解：正方形和正方形的边长都是2， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是1， 故选：A． 【变式训练】（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【规范解答】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 考点7：根据正方形的性质证明 【典例精讲】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度点的对应点分别为． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，①请判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． (3)在旋转过程中，直接写出线段的取值范围． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，理由见详解② (3) 【思路引导】本题考查了以下核心知识点：正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，特殊四边形的判定以及线段取值范围的确定，对这些概念的理解程度是解题的关键． （1）先通过勾股定理求正方形的边长，再结合正方形对角线性质求，最后利用旋转后的性质，通过线段差计算． （2）①由旋转得且，结合已知推出四边形有三个直角，先判定为矩形，再通过邻边相等判定为正方形． ②通过作垂线构造直角三角形，利用“同角的余角相等”找到全等条件，证明，得到对应边长度，再用勾股定理求． （3）将A视为定点，为定长，则的轨迹是以A为圆心、为半径的圆；结合为定长，通过“点C到圆上点E'的距离范围确定取值范围． 【规范解答】（1）解：在中，因为，，， 所以， 由于四边形是正方形， 所以，， 那么， 由旋转性质可知， 所以． （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质可得，， 因为， 又因为， 所以四边形是正方形． ②过点作于点，则， 因为， 所以， 在和中， ， 可得， 所以，， 则， 在中，根据勾股定理． （3）解：因为的轨迹是以A为圆心、为半径的圆， 点到圆心的距离为， 所以最短为， 当落在的延长线上时，，， 最长为， 所以线段的取值范围是． 【变式训练】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形．补全图形如图所示，理由见解析 【思路引导】（1）根据正方形的性质得到，，再由证明，即可证明； （2）设相交于点，根据三角形中位线和证明四边形是菱形，由得到，进而得到，得到，即可证明． 【规范解答】（1）解：．理由如下： 四边形是正方形， ，． 又， ． ； （2）解：四边形是正方形．补全图形如图．理由如下： 设相交于点， 分别是的中点， ． ． 四边形是菱形． ， ． ， ， ． 分别是的中点， ． ． 四边形是正方形． 【考点剖析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 考点8：正方形的判定定理理解 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 ． 【答案】①②③ 【思路引导】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【考点剖析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 【变式训练】（24-25九年级上·江西吉安·期末）下列说法正确的是（　　） A．两条对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【思路引导】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，根据正方形的判定、平行四边形的判定和矩形的判定逐项判断即可求解，掌握以上判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：、两条对角线相等的菱形是正方形，该选项说法正确，符合题意； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线相等的平行四边形是矩形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 考点9：添一个条件使四边形是正方形 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 【答案】(1)当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 (3)不会，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，菱形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，同理可得，则，当，可得与相等且互相平分，据此可证明四边形是矩形； （2）当时，可证明，进而证明，据此可证明四边形是正方形； （3）连接交于G，可证明，若四边形是菱形，则，但在中，不可能存在两个角为，故四边形不会是菱形． 【规范解答】（1）解：当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴与相等且互相平分， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （3）解：四边形不会是菱形，理由如下： 如图所示，连接交于G， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为， ∴四边形不会是菱形． 【变式训练】如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 (3)当或时，四边形是正方形，理由见解析 【思路引导】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 考点10：证明四边形是正方形 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，点D为边的中点，在平面内取一点E，连接、使，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当中，时，四边形是正方形，见解析 【思路引导】本题考查了菱形和正方形的判定，直角三角新的斜边中线，等腰三角形的性质，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形．再根据直角三角形斜边中线，得到，即可证明结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再结合正方形的判定定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，点D为AC边的中点， ∴． ∴四边形是菱形． （2）解：当中，当时，四边形是正方形． 理由：∵，，点D为边的中点， ∴． ∴． 由（1）可知，四边形是菱形， ∴菱形是正方形． 【变式训练】（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，理由见解析 【思路引导】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识； （1）由菱形的性质得出，，由已知证出，由证明即可； （2）由三角形中位线定理证出，，，得到，证出四边形是菱形，再证出，进而得四边形是正方形． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 考点11：根据正方形的性质与判定求角度 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【思路引导】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【变式训练】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 考点12：根据正方形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：菱形中，点E在边上，将沿折叠，点B对应点为点F，恰好使．点P为边上一点，直线交于点G．若，，，则的长为 ． 【答案】3 【思路引导】过E作于M，连接交于J，先根据菱形的性质和翻折性质，结合已知得到是等腰直角三角形，进而求得，分别证明四边形是平行四边形，和四边形是正方形，推导出四边形是平行四边形，得到，进而可求解． 【规范解答】解：过E作于M，连接交于J， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，则， 由折叠性质得，， ∵， ∴是等腰直角三角形，又， ∴，则， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，又， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【考点剖析】本题考查翻折性质、菱形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运算，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 【变式训练】（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路引导】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①如图，过点E作于，于，   正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接，   ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【考点剖析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 考点13：根据正方形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·山东青岛·期中）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质和证明三角形全等是解题的关键． 过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解． 【规范解答】如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式训练】（24-25八年级下·山西·阶段练习）综合与实践 如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接． 特例感知 （1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 （2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设． ①的面积为_______（用含x的代数式表示）； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）,  （2）①  ②或 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质，根据证明，即可得到结论； （2）①连接交于，根据勾股定理求出的长，然后根据（1）的结论，根据勾股定理表示，然后根据对称得到四边形是正方形，即可得到解题即可；②作于， 连接，表示，长，利用勾股定理求出长，然后根据求出x值即可． 【规范解答】（1），， ∵， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 即； （2）解：①连接交于， 则， ， ， ，且，， ， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ， ∵， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴故答案为：； ②过作于， 则是等腰直角三角形， ， ， 连接，由直角三角形性质得， ， ， ， ， 则， ， ， 解得或 或 ． 考点14：根据正方形的性质与判定证明 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长．（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)a 【思路引导】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【规范解答】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】23-24八年级下·福建厦门·期末）如图①，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，（点A的对应点为点C，点E的对应点为点）．延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图②，若，请猜想线段段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)9 (3)，证明见解析 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键； （1）由正方形的性质得到，由全等三角形的性质可得，再证明，，即可证明四边形是矩形，再由，即可证明矩形是正方形； （2）由全等三角形的性质得到，由正方形的性质可得，则可得到，根据勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点作于点．证明，推出，由三线合一定理得到，则可推出，据此可得结论． 【规范解答】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 或（舍去）． （3）解：，证明如下： 如图所示，过点作于点，则， ∴ 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴ ， ． 考点15：中点四边形 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，下列结论正确的是（   ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是矩形 B．若四边形是菱形，则四边形是矩形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是正方形 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形．先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵点E，F，G，H分别是四边形的边的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当四边形是平行四边形，此时无法证明四边形是矩形，故A说法错误，不符合题意； 当四边形是菱形时，则， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形，故B说法正确，符合题意； 若四边形是矩形，则， 又∵，， ∴，此时不能得到四边形是矩形，故C说法错误，不符合题意； 若四边形是正方形时，则，， 又∵，，，， ∴，此时不能四边形是正方形，故D说法错误，不符合题意； 故选：B. 【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．连接、交于点，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，求出四边形的面积，总结规律，关键规律解答即可． 【规范解答】解：解：如图，连接、交于点， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， ，，，，， 四边形为矩形， 四边形的面积为， 则四边形的面积是， 故答案为：． 考点16：利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)81608 【思路引导】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． （1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用阴影部分面积为，运用平方差进行运算，进而求得答案即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； 故答案为：是，不是． （2） 【变式训练】（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【思路引导】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【规范解答】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【考点剖析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 考点17：(特殊）平行四边形的动点问题 【典例精讲】（2025·贵州遵义·三模）如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 【答案】(1)四边形一定是平行四边形，理由见解析 (2) (3)当时，四边形为菱形 【思路引导】（1）由题意得，由矩形的性质得，，所以，由分别是的中点得，证明得，所以，进而得，即可得解； （2）如图，连接，证明四边形是矩形得，当四边形是矩形时，，所以，解出即可； （3）如图，连接与相交于点，由四边形为菱形，得垂直平分，，，进而得，由题意得，所以，证明出平行四边形为菱形，所以，设，则，由勾股定理，得，即，解得，所以，解出即可． 【规范解答】（1）解：四边形一定是平行四边形，理由： 由题意，得， 四边形是矩形， ，， ， 分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形，， ， 当四边形是矩形时，， ， ， 解得：； （3）解：如图，连接与相交于点， 四边形为菱形， 垂直平分，，， ， 又是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为， ， ， ， 平行四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， 解得：， 当时，四边形为菱形． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)周长为，面积为 【思路引导】（1）由矩形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （2）由菱形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （3）先利用的值求出的长，然后根据和即可求出菱形的周长和面积． 【规范解答】（1）解：四边形是矩形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 四边形是菱形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是菱形； （3）解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：． 【考点剖析】本题主要考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，菱形的性质，解一元一次方程，代数式求值，多边形的周长，利用菱形的性质求面积等知识点，利用各种图形的性质建立方程解决问题是解题的关键． 考点18：四边形中的线段最值问题 【典例精讲】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键．由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是． 故选：C． 【变式训练】（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．    【答案】 【思路引导】作点E关于的对称点N，连接，交于点G，根据两点之间线段最短，所以为的最小值，过点F作于点M，在直角中，求得的最小值为13，即可求出周长的最小值． 【规范解答】解：如图，    作点E关于的对称点N， 因为正方形是轴对称图形，且为对称轴， 所以点N在上， 连接，交于点G，根据两点之间线段最短， 所以为的最小值， 过点F作于点M， 则，， 根据轴对称性质可知：， 所以， 在直角中，由勾股定理，得： ， 所以， 即的最小值为13， 在中，， 所以， 所以周长的最小值是． 【考点剖析】本题考查轴对称﹣最短路径问题，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 考点19：四边形其他综合问题 【典例精讲】（24-25九年级上·山东枣庄·期末）如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 (3)或或是等腰直角三角形 【思路引导】（1）根据垂直的定义得到，得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，于是得到； （2）由为中点，得到，得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （3）根据正方形的判定定理得到结论． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形． 理由如下： 为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； ，为中点， ， 四边形是菱形； （3）解：当满足（答案不唯一）时，四边形是正方形， 理由：由（2）知，四边形是菱形， ，， ， 四边形是正方形． 【考点剖析】本题是四边形的综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【变式训练】（23-24九年级上·广东江门·期末）王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答： (1)观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________． (2)探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到，若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长． 【答案】(1)菱形 (2)正方形，见解析 (3) 【思路引导】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，可得到四边形为平行四边形，再由旋转的性质得：，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再由四边形是矩形，可得，从而得到四边形是矩形，然后根据，即可解答； （3）先求得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由旋转的性质得：， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱形 （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （3）解：在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、直角三角形的性质，旋转的性质和平移的性质，是中考的压轴题，解题时需要抓住图形在变换中的性质，递进式的解答． 1．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解． 【规范解答】解：作轴于点，轴于点，连接，如图， ∵， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【思路引导】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【规范解答】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 3．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)四边形是黄金矩形．证明见解析 【思路引导】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【规范解答】（1）解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【考点剖析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 4．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ． 【答案】/0.375 【思路引导】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【规范解答】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【规范解答】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 基础夯实 1．（23-24八年级下·河北沧州·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【规范解答】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方形的性质和旋转的性质，等边对等角．先根据正方形的性质和旋转的性质得到的度数，，再根据等腰三角形的性质即可求得的度数． 【规范解答】解：∵正方形绕着点逆时针旋转得到正方形， ∴°，， ∴． 故选：C． 3．（2025·山西长治·二模）如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（   ）    A．一定会出现平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当，且时四边形为正方形 D．当，且时，四边形为菱形 【答案】A 【思路引导】本题考查等边三角形的性质，平行四边形的判定，矩形、正方形和菱形的判定．先证明和，推出四边形是平行四边形，再根据矩形，菱形和正方形性质和判定定理逐一证明判断即可． 【规范解答】解：当时， ∵、、都是等边三角形； ∴， ， ∴， 故， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵当时 ∴， ∴平行四边形是矩形，故B正确，选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴矩形为正方形，故C正确，选项C不符合题意； ∵，且， ∴， ∴平行四边形是菱形，故D正确，选项D不符合题意； 当， ∴， 即D，A，F三点在同一直线上， ∴四边形不存在， 故A不正确，选项A符合题意； 故选：A． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边，则 度． 【答案】45 【思路引导】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【规范解答】解：∵正方形，等边， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：45． 5．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度． 【答案】 【思路引导】本题考查利用正方形的性质求角度，涉及对角线平分对角、等腰三角形的性质，熟记这些基本的几何图形判定及性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质得，由，得，即可求解． 【规范解答】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是 ． 【答案】/60度 【思路引导】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键．根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知直线经过正方形的顶点，分别过顶点作于点于点．若，，则 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，由正方形的性质得到，，进一步得到，证明，得到，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在正方形中，G是边上一点，连接，过点D作于点E，过点B作，且交于点F．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理是解题的关键．通过正方形的性质得出相关角和边的关系，再结合垂直的性质得到角的等量关系，最后利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等． 【规范解答】证明：∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在和中， ∴ ， ∴ ． 9．（24-25九年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，垂足为，交直线于点，连接，． (1)求证：； (2)当点为的中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（）的条件下，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 (3)当时，四边形是正方形，理由见解析 【思路引导】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （）根据同位角相等两直线平行证明，进而得到四边形是平行四边形； （）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形，得到四边形是菱形； （）根据（）可知四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，得到当时，四边形是正方形． 【规范解答】（1）解：证明∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）四边形是菱形， 理由是：∵点为的中点， ∴，由（）得， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）时，四边形是正方形. 理由：∵，， ∴， 由（）可知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 10．（24-25九年级上·吉林长春·期末）【问题背景】 如图1所示，正方形的边长为4，是边上一点（不与、重合），在边上取点，使得，分别连接、相交于点． 【问题解决】 (1)判断与有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点为的中点，则的长为 ； (3)如图3，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）证明得到，进而得到即可得到结论； （2）先由勾股定理求得，再利用三角形的等面积求得，进而利用勾股定理求解即可； （3）取的中点O，连接，，先证明四边形是矩形得到，则的最小值等于的最小值；再根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，由，当点C、P、O共线时取等号得到的最小值即可求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，则； （2）解：由（1）知， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：取的中点O，连接，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故的最小值等于的最小值； ∵，，点O是的中点， ∴，， ∴， ∵，当点C、P、O共线时取等号， ∴的最小值为， 故的最小值为． 【考点剖析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 培优拔高 11．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（    ） A．相等且平分 B．垂直且平分 C．相等且垂直 D．相等、平分且垂直 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了正方形的性质定理，三角形中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的性质是解题的关键． 根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【规范解答】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形各边、、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，， 故选：C． 12．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，点E，F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论：①；②；③；④中，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，由正方形的性质得，而，可推导出，即可证明，得，可判断①正确；因为，所以，可判断②正确；如果，那么，但题中没有这样的条件，可判断③错误；由，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴如果，那么，显然题中没有这样的条件， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 所以，共有3个正确的结论， 故选：B． 13．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的边长为（    ） A．10 B． C．14 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 添加垂直辅助线，通过证明三角形全等将已知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理得解． 【规范解答】解：如图，过C作于点M，过A作于点N， 则，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 14．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至使得，连接，根据正方形的性质证明，得出，，进而再证出，得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【规范解答】解：如图，延长至使得，连接， ∵边长为5的正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：A． 15．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）大约公元年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接，相交于点，与相交于点，若，则 ；直角三角形的边与之比是 ． 【答案】 / 【思路引导】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质，先求出，根据等腰三角形性质求出，再证明，设，求出即可求出边与之比． 【规范解答】四边形为正方形， ，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 设， 为，的交点，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ，， ， ， ， 故答案为：，． 16．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图．在边长为6的正方形中，点分别在上，相交于点P，O是正方形的中心，连接，则的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，由正方形的性质得到；以点B为原点，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，进而得到；求出点E和点F的坐标，进而求出直线的解析式，则可求出点P的坐标，再根据两点距离计算公式求解即可． 【规范解答】解：∵四边形是边长为6的正方形， ∴； 如图所示，以点B为原点，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系， ∴， ∵O是正方形的中心， ∴O是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·山西临汾·三模）如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，连接．设，则．由折叠的性质得，，，可证明，可得，从而得到．再证得，可得，从而得到，进而得到然后在中，由勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交于点，连接． 四边形为正方形，且边长为6， ，． 设，则． 由折叠的性质得，，， ，． 在和中， ， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：4． 18．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，则为等腰直角三角形，即，由此即可得出结论； （2）证明，则，求出，求出，由此可得． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵的平分线交于点E， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； （2）∵平分 ∴ 在和中， ∴ ∴ 由（1）可知，四边形是正方形 ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 【考点剖析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，理解正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 19．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）【知识技能】 如图，在正方形中，为对角线，点D关于的对称点为点E，P为射线上一点，连接． （1）如1图，当点P与点E重合时，求证：． 【拓展探索】 （2）如题2图，线段的垂直平分线与，分别交于点F，H，连接，． ①试判断的形状，并说明理由； ②直线与线段，射线分别交于点G，I，在点P从点D运动到点E的过程中，试探究线段，，的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）是等腰直角三角形；（3），理由见解析 【思路引导】（1）利用点与关于对称，得；结合正方形性质，且，推导出、，从而判定四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，证得． （2）①过作交于，由是垂直平分线得；结合正方形性质，证是等腰直角三角形，且四边形是矩形，进而得；通过证，推出，结合，判定是等腰直角三角形．②过作，构造矩形和等腰直角三角形、；通过证，得角的关系；再证，推出；结合垂直平分，证，得，最终推导出． 【规范解答】（1）证明∶如图1，点D关于线段的对称点为E， ， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ； （2）①是等腰直角三角形，理由如下∶ 如图2，过点H作于点M，交AD于点N， ， ， 是的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ②线段，，的数量关系是：，理由如下∶ 如图3，过点P作于点P，交直线于K，交的延长线于点Q，交的延长线于点，连接，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． 【考点剖析】本题主要运用正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质和判定等知识，解题关键是利用对称、正方形性质构造全等三角形，结合垂直平分线等知识推导． 20．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为4，点是边的中点，点为边上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、． (1)线段的长为 ； (2)当点运动到边中点时，求线段的长； (3)当时，求线段的长； (4)连接，当 度时，线段的长取得最小值，此时 ， ． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)60；3； 【思路引导】（1）根据线段中点定义求解即可； （2）根据勾股定理求解即可； （3）先证明是等边三角形，结合平行线的性质求得，则，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； （4）以为边，在上方作等边三角形，连接，证明得到，，则点Q在垂直于的直线上运动，当时，的长最小，如图，此时，则，过作于N，交于M，则，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形得到，，进而可求解． 【规范解答】（1）解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， 故答案为：2； （2）解：当点运动到边中点时，， 在中，， ∴； （3）解：由旋转性质得，， ∴是等边三角形， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∴； （4）解：以为边，在上方作等边三角形，连接， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴点Q在垂直于的直线上运动， 当时，的长最小，如图，此时， ∴， 即当度时，线段的长取得最小值； 过作于N，交于M，则， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，． 故答案为：60；3；． 【考点剖析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，添加辅助线构造全等三角形，得到点Q的运动轨迹是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 正方形的性质与判定 （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：正方形的定义 2 知识点梳理02：正方形的性质 2 知识点梳理03：正方形的判定 3 知识点梳理04：中点四边形 3 知识点梳理05：菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：正方形性质理解 4 考点2：根据正方形的性质求角度 5 考点3：根据正方形的性质求线段长 6 考点4：根据正方形的性质求面积 6 考点5：正方形折叠问题 7 考点6：求正方形重叠部分面积 8 考点7：根据正方形的性质证明 9 考点8：正方形的判定定理理解 10 考点9：添一个条件使四边形是正方形 11 考点10：证明四边形是正方形 12 考点11：根据正方形的性质与判定求角度 13 考点12：根据正方形的性质与判定求线段长 14 考点13：根据正方形的性质与判定求面积 15 考点14：根据正方形的性质与判定证明 16 考点15：中点四边形 17 考点16：利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 17 考点17：(特殊）平行四边形的动点问题 18 考点18：四边形中的线段最值问题 19 考点19：四边形其他综合问题 20 中考真题 实战演练 21 难度分层 拔尖冲刺 23 基础夯实 23 培优拔高 27 知识点梳理01：正方形的定义 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 知识点梳理02：正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，有四条对称轴 中心对称图形，对称中心是对角线的交点 知识点梳理03：正方形的判定 知识点梳理04：中点四边形 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形． 2. 常见的中点四边形形状归纳 原四边形 中点四边形 任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形 两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形 两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形 两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形） 正方形 知识点梳理05：菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 正方形既是菱形，又是矩形． 菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是特殊的平行四边形．常见关系使用举例： 考点1：正方形性质理解 【典例精讲】（2025·江西·一模）如图，在正方形中，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中，画出以为底边的等腰，且； (2)在图2中，已知F是的中点，请画出以为边的正方形，且． 【变式训练】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点从出发以2个单位秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点P运动的时间；如果不能，请说明理由． 考点2：根据正方形的性质求角度 【典例精讲】（24-25九年级上·广东汕头·期中）四边形是正方形，旋转后与重合 (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转角等于多少度？ (3)试判断的形状． 【变式训练】（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，李蓁将一副三角尺（含和含的直角三角形）按如图所示的方式放置于正方形木框中，则的度数为 °． 考点3：根据正方形的性质求线段长 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边上的动点，且始终满足，交于点．连接，求线段的最小值． 【变式训练】（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ． 考点4：根据正方形的性质求面积 【典例精讲】（2025·湖北·二模）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是和，则的值是 ． 【变式训练】（21-22九年级上·辽宁朝阳·期末）在正方形中，，与相交于点O．如图，作射线与边相交于点E，将射线绕点O顺时针旋转，得到射线，射线与边相交于点F，连接交于点G． (1)直接写出四边形的面积是 ； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若，求的长． 考点5：正方形折叠问题 【典例精讲】（24-25八年级下·山西运城·期中）综合与实践 如图，在边长为的正方形中（即，），连接，，，将三角形沿直线折叠，得到，延长交于点M． (1)连接，线段可以看做线段沿着的方向平移______后得到； (2)连接，猜想是否为直角三角形，并加以说明； (3)直接写出与的数量关系． 【变式训练】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点6：求正方形重叠部分面积 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练】（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 考点7：根据正方形的性质证明 【典例精讲】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度点的对应点分别为． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，①请判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． (3)在旋转过程中，直接写出线段的取值范围． 【变式训练】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 考点8：正方形的判定定理理解 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 ． 【变式训练】（24-25九年级上·江西吉安·期末）下列说法正确的是（　　） A．两条对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 考点9：添一个条件使四边形是正方形 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 【变式训练】如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 考点10：证明四边形是正方形 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，点D为边的中点，在平面内取一点E，连接、使，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【变式训练】（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 考点11：根据正方形的性质与判定求角度 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【变式训练】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 考点12：根据正方形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：菱形中，点E在边上，将沿折叠，点B对应点为点F，恰好使．点P为边上一点，直线交于点G．若，，，则的长为 ． 【变式训练】（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 考点13：根据正方形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·山东青岛·期中）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ． 【变式训练】（24-25八年级下·山西·阶段练习）综合与实践 如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接． 特例感知 （1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 （2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设． ①的面积为_______（用含x的代数式表示）； ②当时，请直接写出的长度． 考点14：根据正方形的性质与判定证明 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长．（用含的代数式表示） 【变式训练】23-24八年级下·福建厦门·期末）如图①，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，（点A的对应点为点C，点E的对应点为点）．延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图②，若，请猜想线段段与的数量关系并加以证明． 考点15：中点四边形 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，下列结论正确的是（   ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是矩形 B．若四边形是菱形，则四边形是矩形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是正方形 【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 考点16：利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【变式训练】（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 考点17：(特殊）平行四边形的动点问题 【典例精讲】（2025·贵州遵义·三模）如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 考点18：四边形中的线段最值问题 【典例精讲】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式训练】（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．    考点19：四边形其他综合问题 【典例精讲】（24-25九年级上·山东枣庄·期末）如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【变式训练】（23-24九年级上·广东江门·期末）王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答： (1)观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________． (2)探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到，若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长． 1．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 3．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 4．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ． 5．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 基础夯实 1．（23-24八年级下·河北沧州·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西长治·二模）如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（   ）    A．一定会出现平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当，且时四边形为正方形 D．当，且时，四边形为菱形 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边，则 度． 5．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是 ． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知直线经过正方形的顶点，分别过顶点作于点于点．若，，则 ． 8．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在正方形中，G是边上一点，连接，过点D作于点E，过点B作，且交于点F．求证：． 9．（24-25九年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，垂足为，交直线于点，连接，． (1)求证：； (2)当点为的中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（）的条件下，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形？ 10．（24-25九年级上·吉林长春·期末）【问题背景】 如图1所示，正方形的边长为4，是边上一点（不与、重合），在边上取点，使得，分别连接、相交于点． 【问题解决】 (1)判断与有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点为的中点，则的长为 ； (3)如图3，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为 ． 培优拔高 11．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（    ） A．相等且平分 B．垂直且平分 C．相等且垂直 D．相等、平分且垂直 12．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，点E，F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论：①；②；③；④中，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的边长为（    ） A．10 B． C．14 D． 14．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 15．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）大约公元年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接，相交于点，与相交于点，若，则 ；直角三角形的边与之比是 ． 16．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图．在边长为6的正方形中，点分别在上，相交于点P，O是正方形的中心，连接，则的长度为 ． 17．（2025·山西临汾·三模）如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为 ． 18．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形： (2)若，，求的长． 19．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）【知识技能】 如图，在正方形中，为对角线，点D关于的对称点为点E，P为射线上一点，连接． （1）如1图，当点P与点E重合时，求证：． 【拓展探索】 （2）如题2图，线段的垂直平分线与，分别交于点F，H，连接，． ①试判断的形状，并说明理由； ②直线与线段，射线分别交于点G，I，在点P从点D运动到点E的过程中，试探究线段，，的数量关系． 20．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为4，点是边的中点，点为边上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、． (1)线段的长为 ； (2)当点运动到边中点时，求线段的长； (3)当时，求线段的长； (4)连接，当 度时，线段的长取得最小值，此时 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$