第3章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 学习目标 素养要求 1.理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量共线或垂直． 2.掌握空间向量的长度、夹角的坐标表示，并能熟练应用． 1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的探究，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养． 2.借助空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算、直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点一　空间向量运算的坐标表示 [问题1]　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基，任作一向量，根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？ 答：相同． [问题2]　如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？ 答：一一对应． [问题3]　空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算有什么不同？ 答：空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，算法是相同的，但空间向量比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横坐标、纵坐标是一样的． ►知识填空 1．标准正交基 在空间直角坐标系O­xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基． 2．空间向量的坐标 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk． 反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应．这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k)下的坐标，记作p＝(x，y，z)．单位向量i，j，k都叫作坐标向量． 3．空间向量运算的坐标表示 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数乘 λa＝(λx1，λy1，λz1)λ∈R 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2 4.空间向量的坐标表示及长度 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－y1)； (2)dAB＝|| ＝. 知识点二　空间向量平行与垂直、长度与夹角的坐标表示 [问题]　空间向量的平行、垂直的条件、夹角公式与平面向量的有何不同？ 答：无论是平面向量a和b还是空间向量a和b，用a和b表示的平行与垂直条件、夹角公式形式都是一样的．但是用坐标表示时，空间向量多了一个竖坐标． ►知识填空 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 平行 (a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔＝＝ 垂直 (a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 |a|＝＝ 夹角 公式 cos 〈a，b〉＝ ＝(a≠0，b≠0) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若空间向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).(　　) (2)若空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)共线，则＝＝.(　　) (3)空间向量a＝(1，1，1)是一个单位向量．(　　) (4)若a，b为空间向量，则(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－2) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 答案：AD 3．与向量m＝(0，1，－2)共线的向量是(　　) A．(2，0，－4)　　　　　B．(3，6，－12) C．(1，1，－2) D． 答案：D 4．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝________． 答案：1 题型一　空间向量的坐标运算 [例 1]　已知O是坐标原点，点A(2，0，－2)，B(3，1，2)，C(2，－1，7). (1)若点P满足＝2－3，则点P的坐标为________； (2)若点P满足＝2－，则点P的坐标为________． 解析：＝(1，1，4)，＝(0，－1，9). (1)因为＝2－3＝2(1，1，4)－3(0，－1，9)＝(2，5，－19)， 所以点P的坐标为(2，5，－19). (2)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y，z＋2). 因为＝2－， 所以(x－2，y，z＋2)＝2(1，1，4)－(0，－1，9)＝(2，3，－1)， 所以x－2＝2，y＝3，z＋2＝－1， 即x＝4，y＝3，z＝－3， 所以点P的坐标为(4，3，－3). 答案：(1)(2，5，－19)　(2)(4，3，－3) 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标．　　 　已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)，设p＝，q＝. 求(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q). 解：因为A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6). (1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6) ＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9). (2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6) ＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15). (3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2 ＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26. 题型二　空间向量的平行与垂直的应用 [例 2]　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4).设a＝，b＝. (1)设|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解：(1)∵＝(－2，－1，2)且c∥， ∴设c＝λ ＝(－2λ，－λ，2λ). ∴|c|＝＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1. ∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2). (2)∵a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， ∴ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). ∵(ka＋b)⊥(ka－2b). ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－. 判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行． (2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．　　 1．(变条件)将本例(2)中条件“若向量ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若向量a＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值． 解：a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴ka＋b＝(k－1，k，2)，a＋kb＝(1－k，1，2k). ∵ka＋a与a＋kb平行， ∴ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k). ∴∴或 ∴k的值为±1. 2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2). (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 解：(1)由a∥b，得(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2). ∴解得 ∴实数λ＝，m＝3. (2)∵|a|＝，且a⊥c， ∴ 化简，得 解得λ＝－1.因此，a＝(0，1，－2). 题型三　空间向量的长度与夹角的计算 [例 3]　在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为G1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题． (1)求证EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． 解：(1)证明　如图，建立空间直 角坐标系D­xyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G， 则＝－ ＝， ＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)， ∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C. (2)由(1)知＝－(0，1，1)＝， ∴||＝. 又·＝×0＋×＋×(－1)＝，|EF|＝， ∴cos 〈，〉＝＝. 从而可知异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. (3)由(1)知F，H， ∴＝. ∴||＝ ＝， 即FH的长为. 运用向量坐标运算解决几何问题的方法 　　 在长方体OABC­O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题： (1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值； (2)作O1D⊥AC于D，求O1到点D的距离． 解： 建立如图所示的空间直角坐标系． (1)由题意得A(2，0，0)，O1(0，0，2)，B1(2，3，2)，E(1，3，0). ∴＝(－2，0，2)，＝(－1，0，－2)， ∴cos 〈，〉＝＝＝－. ∴直线AO1与B1E所成角的余弦值为. (2)由题意得⊥，∥， ∵C(0，3，0)，设D(x，y，0)， ∴＝(x，y，－2)，＝(x－2，y，0)， ＝(－2，3，0)， ∴解得 ∴D. ∴O1D＝||＝＝. [课堂小结] 1．把平面向量的坐标表示推广到空间向量的坐标表示，只是多了一个竖坐标． 2．注意空间向量平行与平面向量平行的坐标表示的不同． 3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$