第3章 1 空间直角坐标系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

　空间向量与立体几何 §1　空间直角坐标系 学习目标 素养要求 1.能在空间直角坐标系中求出给定点的坐标． 2.掌握空间两点间的距离公式，并能简单应用． 通过空间直角坐标系及两点间距离公式的学习，提升直观想象、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　空间直角坐标系及点的坐标 [问题1]　空间直角坐标系建系的位置不同，点的坐标相同吗？ 答：建立坐标系是解题的关键，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同，因此解题时要慎重建立空间直角坐标系． [问题2]　设点M的坐标为(a，b，c)，过点M分别作xOy平面、yOz平面、xOz平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？ 答：分别是(a，b，0)，(0，b，c)，(a，0，c). ►知识填空 1．空间直角坐标系 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O­xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、 zOx平面．一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系． 2．点的坐标 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P．这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z).三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标． 知识点二　空间两点间的距离公式 [问题1]　在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x，0，0)，B(0，y，0)，C(0，0，z)与坐标原点O的距离分别是什么？ 答：|OA|＝|x|，|OB|＝|y|，|OC|＝|z|. [问题2]　设点P1 (x1，y1，z1) ，P2 (x2，y2，z2 )在xOy平面上的射影分别为M，N.则M，N的坐标分别是什么？点M，N之间的距离如何？ 答：M(x1，y1，0)，N(x2，y2，0)；|MN|＝. ►知识填空 空间两点间的距离公式：已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝.这就是空间两点间的距离公式． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.(　　) (2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.(　　) (3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反．(　　) (4)将空间两点间公式中的两点的坐标位置互换，结果保持不变．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于xOy平面对称的点的坐标是(　　) A．(－1，3，－5)　　　　　B．(1，3，5) C．(1，－3，5) D．(－1，－3，5) 答案：B 3．在空间直角坐标系中，A(－1，2，3)，B(2，1，m)，若|AB|＝，则m＝________． 答案：－7或13 4．在空间直角坐标系中，点A(2，3，4)关于点P(－3，－2，1)的对称点为B，则B点的坐标为________________，|AB|＝________． 答案：(－8，－7，－2)　2 (这是边文，请据需要手工删加) (这是边文，请据需要手工删加) 数学　选择性必修第一册(BS)(这是双页眉，请据需要手工删加) 第三章　空间向量与立体几何(这是单页眉，请据需要手工删加) 题型一　求空间点的坐标 [例 1]　 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)若N为棱CC1的中点，求点N的坐标． 解：(1)显然D(0，0，0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，所以A(3，0，0). 同理，可得C(0，4，0)，D1(0，0，5). 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3，4，0). 同理，可得A1(3，0，5)，C1(0，4，5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3，4，5). (2)由(1)知C(0，4，0)，C1(0，4，5)，则C1C的中点N为，即N. (1)若坐标系已给出，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．　　 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求各个顶点的坐标． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上． ∵|P1P2|＝2，且P1，P2，P3，P4均在xOy平面上， ∴P1(1，1，0)，P2(－1，1，0). 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称， ∴P3(－1，－1，0)，P4(1，－1，0). 又|SP1|＝2，|OP1|＝， ∴在Rt△SOP1中，|SO|＝， ∴S(0，0，). (答案不唯一，也可选择其他的点建系) 题型二　空间中点的对称问题 [例 2]　在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． 解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4). (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3(6，－3，－12). [反思感悟] 求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．” 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴 或对称平面(中心) 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 点P(－3，2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1，2，1)的对称点是________． 解析：点P关于平面xOz对称后，它的纵坐标变为相反数，其他不变，因此第一个应填(－3，－2，－1)；P关于z轴对称后，它的竖坐标没变，横、纵坐标变为相反数，因此第二个应填(3，－2，－1)；设P关于M(1，2，1)对称后的点为(x，y，z)，则由中点坐标公式，得＝1，＝2，＝1，解得x＝5，y＝2，z＝3.因此第三个应填(5，2，3). 答案：(－3，－2，－1)　(3，－2，－1)　(5，2，3) 题型三　空间两点间距离公式的应用 [例 3]　(1)已知 A(1, －2，11) ，B(4，2，3) ，C(6, －1，4)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形　　　B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 (2)如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O­xyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值． 解：(1)选C　∵|AB|＝ ＝， |BC|＝ ＝， |AC|＝＝， ∴|BC|2＋|AC|2＝|AB|2. 即△ ABC是直角三角形．故选C. (2)依题意P设点Q(0，1，z)， 则|PQ|＝ ＝， 所以当z＝时，|PQ|min＝， 此时Q，Q恰为CD的中点． 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．　　 如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度． 解： 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所以直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， ∴|DE|＝＝， |EF|＝＝. [课堂小结] 1．空间中确定点M坐标的三种方法 (1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标． (2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标． (3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标． 2．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$