第2章 3.1 抛物线及其标准方程（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§3　抛物线 §3.1　抛物线及其标准方程 学习目标 素养要求 1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程． 2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用． 1.通过对抛物线定义的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.通过运用抛物线定义及标准方程解决实际问题，培养直观想象、数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点一　抛物线的定义 [问题1]　平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？ 答：连接两定点所得线段的垂直平分线． [问题2]　平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？ 答：一条直线． ►知识填空 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线． 这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线． 抛物线的定义可归纳为“一动三定”：一定动即为动点M(x，y)；三定：一个定点F；一条定直线l；一个定比(点M到定点F与到定直线l的距离的比为1).　　 知识点二　抛物线的标准方程 [问题1]　二次函数的解析式是什么？其图象是什么？ 答：二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它的图象是抛物线． [问题2]　结合求椭圆、双曲线标准方程的步骤，应怎样求抛物线的标准方程？ 答：建系、设点、列式、化简． ►知识填空 抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 y2＝2px (p＞0) x＝－ y2＝－2px (p＞0) x＝ x2＝2py (p＞0) y＝－ x2＝－2py (p＞0) y＝ [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (2)抛物线实质上就是双曲线的一支．(　　) (3)若抛物线的方程为y2＝－4x，则焦点到准线的距离p＝－2.(　　) (4)抛物线y＝6x2的焦点在x轴的正半轴．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．抛物线y2＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(　　) A.y2＝8x　　　　　　　B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x 答案：A 3．对于抛物线x2＝4y，下列描述正确的是(　　) A．开口向上，焦点为(0，1) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(1，0) D．开口向右，焦点为 解析：选A　抛物线x2＝4y开口向上，焦点为(0，1). 4．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是________． 解析：抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3. 答案：y＝3 题型一　求抛物线的标准方程 [例 1]　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)经过点M(－6，6)； (2)准线方程为y＝； (3)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5. 解：(1)由于点M(－6，6)在第二象限， 所以过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px(p＞0)， 将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)， 所以p＝3. 所以抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上， 设其方程为x2＝2py(p＞0)， 将点M(－6，6)代入可得36＝2p×6，所以p＝3， 所以抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. (2)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝， 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (3)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系． (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论情况的个数． (3)注意p与的几何意义．　　 　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限， ∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. (2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0). 当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6， 此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4，0)时，＝4，∴p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x. ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 题型二　抛物线定义的应用 [例 2]　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程． 解：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等． 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0). 抛物线定义的应用要点 (1)根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷． (2)抛物线标准方程中的p的几何意义是：焦点到准线的距离． (3)对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题．　　 1．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________． 解析：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10， 所以p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x. 将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6， 所以M(－9，6)或M(－9，－6). 答案：(－9，－6)或(－9，6) 2．(变条件、变结论)若本例中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标． 解： 如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值， 最小值为3＋＝. 这时点M的纵坐标为2，可设M(x0，2)， 代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2). 题型三　抛物线的实际应用 [例 3]　(1)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，则灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________ cm. (2)某抛物线形拱桥跨度是20 m，拱桥高度是4 m，在建桥时，每4 m需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长． 解析： (1)取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示． 因灯口直径|AB|＝24，灯深|OP|＝10，所以点A的坐标是(10，12). 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，由点A(10，12)在抛物线上，得122＝2p×10，所以p＝7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0).因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6 cm. 答案：3.6 (2)如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，所以100＝－2p×(－4)，2p＝25. 即抛物线方程为x2＝－25y. 因为每4 m需用一根支柱支撑， 所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6. 由图知，AB是最长的支柱之一． 设点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－，所以|AB|＝4－＝3.84(m) 求解抛物线实际应用题的五个步骤 　　 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出的水流呈抛物线形，且最高点B高5 m，与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？ 解：如图所示，建立直角坐标系，则B点坐标为(0，0)，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)， 因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)， 因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y. 点A(－4，y0)在抛物线上， 所以16＝－5y0，即y0＝－， 所以OA的长为5－＝1.8(m). 所以管柱OA的长为1.8 m. [课堂小结] 1．抛物线的定义中不要忽略的条件：点F不在直线l上． 2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0). 3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$