第2章 2.2 双曲线的简单几何性质（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2.2　双曲线的简单几何性质 学习目标 素养要求 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2.能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题． 1.通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象的核心素养． 2.借助于几何性质的应用，提升学生的数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　双曲线的简单几何性质 [问题1]　观察图形思考下面问题． (1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？ 答：有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. (2)观察双曲线图形，它是否是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是否是中心对称图形？对称中心是哪个点？ 答：关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． [问题2]　双曲线有几个顶点？它的顶点和焦点能在虚轴上吗？ 答：有两个顶点，但它的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上． ►知识填空 双曲线的简单几何性质 标准 方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 焦距 |F1F2|＝2c(a2＋b2＝c2) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 对称 性 关于x轴、y轴、原点对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形 渐近 线 ±＝0 ±＝0 离心 率 e＝(e＞1) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(　　) (2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　) (3)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．中心在原点，实轴上为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1或－＝1 C.－＝1 D．－＝1或－＝1 答案：B 3．双曲线－＝－3的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 答案：A 4．若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________． 答案：48 题型一　由双曲线方程求其几何性质 [例 1]　求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标，离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝±x. 即y＝±x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几个性质．　　 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 解：双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x. 题型二　由双曲线的几何性质求其标准方程 [例 2]　求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x； (3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程． 解：(1)设双曲线的标准方程为 －＝1或－＝1(a＞0，b＞0). 由题知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为－＝1或－＝1. (2)法一：当焦点在x轴上时，由＝且a＝3， ∴b＝. ∴所求双曲线方程为－＝1. 当焦点在y轴上时，由＝且a＝3， ∴b＝2. ∴所求双曲线方程为－＝1. ∴标准方程为－＝1或－＝1. 法二：设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2λ＝6⇒λ＝， 当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的方程为－＝1或－＝1. (3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1. 求双曲线标准方程的方法与技巧 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧： ①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a＞0，b＞0)； ②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a＞0，b＞0)； ③与双曲线－＝1共焦点的方程可设为－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)； ④与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)； ⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)； ⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).　　 求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)； (2)过点(2，0)，与双曲线－＝1的离心率相等． 解：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0). 由点M(3，－2)在双曲线上得－＝λ， 得λ＝－2. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，将点(2，0)代入方程得λ＝， 故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，将点(2，0)代入方程得λ＝－＜0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 题型三　求双曲线的离心率 [例 3]　(1)已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为______； (2)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________． 解析：(1)根据点(2，3)在双曲线上，得－＝1　①， 考虑到焦距为4，则2c＝4，即c＝2　②. 联立①②及a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝， 所以离心率e＝2. (2)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c，0)，虚轴的一个端点为B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直得－·＝－1(－显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去). 答案：(1)2　(2) 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝ 得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.　　 (多选)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值可以是(　　) A．　　　　　　　　B． C．2 D．3 解析：选AB　由题意易知点F的坐标为(－c，0)，A，B，E(a，0). ∵△ABE是锐角三角形，∴·＞0， 即·＝·＞0， 整理得3e2＋2e＞e4，∴e(e3－3e－3＋1)＜0， ∴e(e＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2). 又e＞1，∴e∈(1，2)，故选AB. [课堂小结] 1．掌握由方程研究几何性质的方法，弄清椭圆与双曲线几何性质的区别． 2．双曲线特有的性质：渐近线 (1)随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置． (2)求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成“0”，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$