第2章 1.2 椭圆的简单几何性质（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§1.2　椭圆的简单几何性质 学习目标 素养要求 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 2．掌握椭圆的简单几何性质． 3．能根据椭圆的几何性质解决有关问题． 1.通过椭圆几何性质的探究，主要培养直观想象、数学抽象的核心素养． 2．借助椭圆几何性质的应用，提升直观想象、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　椭圆的简单几何性质 [问题1]　已知椭圆方程，讨论椭圆性质时， 椭圆的方程要满足什么形式？ 答：椭圆方程需要是标准方程，若不是标准形式要先化成标准形式._ [问题2]　观察椭圆＋＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？ 答：由≤1，≤1得－a≤x≤a，－b≤y≤b. [问题3]　对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形，长轴、短轴有何不同点与相同点？ 答：相同点：两图长轴长与短轴长分别相等； 不同点：长轴与短轴所在位置不同． [问题4]　椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系？ 答：椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线． ►知识填空 1．椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0) 离心率 e＝(0＜e＜1) 2.离心率的性质 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率都与焦点所在的坐标轴有关．(　　) (2)椭圆的焦点一定在长轴上．(　　) (3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的参数不能刻画椭圆的扁平程度，而能刻画椭圆的扁平程度．(　　) (4)椭圆＋＝1比椭圆＋＝1更扁一些．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A.5，3，0.8　　　　　　　B．10，6，0.8 C.5，3，0.6 D．10，6，0.6 答案：B 3．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是(　　) A.长轴长为　　　　B．焦距为 C.短轴长为 D．离心率为 解析：选ABC　椭圆C：16x2＋4y2＝1， 化为标准形式为＋＝1，可得a＝，b＝， 则c＝＝，可得离心率为e＝＝＝. 4．椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝(　　) A.1 B． C. D．2 解析：选C　∵a2＝m2＋1，b2＝m2， ∴c2＝a2－b2＝m2＋1－m2＝1，c＝1. ∵∠F1AF2＝，∴△F1AF2为等边三角形， ∴a＝2c，即 ＝2，m＝(m＞0). 题型一　由椭圆方程研究其几何性质 [例 1]　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(－6，0)，(6，0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1. 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0，－10)，(0，10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，－6)，(0，6)； ⑤离心率：e＝. 　　 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解：把已知方程化为标准方程＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝， 两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)， 四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3). 题型二　利用几何性质求椭圆方程 [例 2]　(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________． (2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为________． 解析：(1)设椭圆G的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，则∴ ∴b2＝a2－c2＝36－27＝9， ∴椭圆G的方程为＋＝1. (2)由已知∴从而b2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1 答案：(1)＋＝1　(2)＋＝1或＋＝1 利用性质求椭圆方程的步骤 　　 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)； (2)离心率e＝，焦距为12. 解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1； 若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由题意，得解得 故所求椭圆的标准方程是＋＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6， 则b2＝a2－c2＝64. 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准为＋＝1； 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 题型三　求椭圆的离心率 [例 3]　(1)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　) A.　　　　　　　　B． C. D． (2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.(0，1) B． C. D． 解析：(1)法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m， 故离心率e＝＝＝＝＝. 法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c， 将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±， 所以|PF2|＝. 又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|， 故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去). (2)依题意得，c＜b，即c2＜b2， ∴c2＜a2－c2，2c2＜a2， 故离心率e＝＜，又0＜e＜1， ∴0＜e＜. 答案：(1)D　(2)C 求椭圆离心率的值或范围的两种方法 直 接 法 若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解 方 程 法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 　　 1．(多选)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率可以是(　　) A． B． C． D． 解析：选BD　由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形， ∴|OP|＝c≥b，即c2≥a2－c2，又a≤c， ∴e＝≥ ，又0＜e＜1，∴≤e＜1， 故选BD. 2．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：选B　设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为＝，即长半轴长为，所以半焦距为，故离心率为. [课堂小结] 1．通过椭圆简单几何性质的学习，初步掌握利用方程研究其几何性质的方法，为后面的学习提供一般方法． 2．在椭圆的诸多基本量中，有些是与焦点所在的坐标轴无关的，如长轴长、短轴长、焦距、离心率，而有些则是与焦点所在的坐标轴有关的，如顶点坐标、焦点坐标等，在计算时应注意确定焦点位置． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$