第1章 2.3 直线与圆的位置关系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2.3　直线与圆的位置关系 学习目标 素养要求 1.理解直线与圆的三种位置关系． 2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系． 3.能解决直线与圆位置关系的综合问题． 1.通过直线与圆位置关系的学习，培养直观想象的核心素养． 2.通过解决直线与圆位置关系的综合问题，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　直线与圆的位置关系 [问题1]　直线与圆有几种位置关系？ 答：3种，相交、相切和相离． [问题2]　怎样用几何法判断直线和圆的位置关系？ 答：利用圆心到直线的距离d与圆半径的大小关系判断它们之间的位置关系，若d＞r，直线与圆相离；若d＝r，直线与圆相切；若d＜r，直线与圆相交． [问题3]　除了几何法还有什么方法可以判断直线与圆的位置关系？ 答：根据直线与圆的方程，用代数法可以判断． ►知识填空 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点 两个 一个 零个 判 定 方 法 几何法：设圆心到直 线的距离 d＝ (A，B不全为0) d＜r d＝r d＞r 代数法：由 两组 不同解 一组 实数解 (两组 相等实 数解) 没有 实数解 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断．(　　) (2)过圆外一点作圆的切线有两条．(　　) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离．(　　) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　B．相切 C．相离 D．相切或相交 答案：A 3．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　) A．0或2 B．2 C． D．无解 答案：B 4．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________． 答案：4 题型一　直线与圆的位置关系的判断 [例 1]　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2，1)，半径r＝2. 圆心(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. 当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．　　 直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　B．相离 C．相交或相切 D．相切 解析：选C　直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交．故选C. 题型二　直线与圆的相切问题 [例 2]　过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程． 解：∵点A到圆心C的距离的平方为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，∴点A在圆外． ①若所求的切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4). ∵圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1， ∴＝1， 即|k＋4|＝ ， 解得k＝－， ∴切线方程为y＋3＝－(x－4)， 即15x＋8y－36＝0. ②若切线斜率不存在，则切线方程为x＝4，圆心C(3，1)到切线的距离为1，和半径相等，符合题意，∴另一条切线方程是x＝4. 综上所述，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 圆的切线的求法 (1)点在圆上时： 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点在圆外时： ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．　　 1．(变条件)本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，求此切线方程． 解：因为(2－3)2＋(1－1)2＝1， 所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点， 又过圆心(3，1)与点A的直线斜率为0， 故所求切线的方程为x＝2. 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上． 若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程． 解：联立得解得 所以圆心C的坐标为(3，2).设切线斜率为k， 若k不存在，不合题意； 若k存在，则切线：y＝kx＋3，可得圆心到切线的距离d＝r，即＝1，解得k＝0或k＝－， 则所求切线为y＝3或y＝－x＋3. 题型三　圆的弦长问题 [例 3]　直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求直线l的方程． 解：据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 法一：联立方程组 消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0. 由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)＞0， 解得k＞0，又x1＋x2＝－， x1x2＝. 由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2). ∴|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝4.两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0， 解得k＝或k＝2符合题意． 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5， |AH|＝|AB|＝×4＝2， 则|OH|＝ ＝. ∴＝， 解得k＝或k＝2. ∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. [反思感悟] 求弦长常用的三种方法 圆的 性质 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋解题 交点 坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长 弦长 公式 设直线l：y＝kx＋b圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝·|x1－x2|＝ 1．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________． 解析： 如图所示，圆心C到直线AB的距离|CD|＝|AC|·sin 60°＝·|AC|，圆心C的坐标为(1，a)，半径|AC|＝2，所以d＝|CD|＝＝×2，所以(2a－2)2＝3a2＋3，解得a＝4±. 答案：4± 2．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y＝x上截得弦长为2；③圆心在直线x－3y＝0上．求圆C的方程． 解：设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 则由题意得 解得或 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. [课堂小结] 1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系． 2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算． 3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$