第1章 2.2 圆的一般方程（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2.2　圆的一般方程 学习目标 素养要求 1.理解圆的一般方程的特点，会由圆的一般方程求圆心和半径． 2.会根据给定的条件灵活选取恰当的方法求圆的一般方程． 1.通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.借助圆的一般方程的求解及其应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　圆的一般方程 [问题1]　圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)展开可得到一个什么式子？ 答：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. [问题2]　把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？ 答：得到的方程为＋＝. ►知识填空 1．圆的一般方程 (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其圆心为，半径为(D2＋E2－4F)． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2 ＋Dx＋Ey＋F＝0表示点． (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程x2 ＋y2＋ Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 2．圆的一般方程的代数特征 对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： (1)x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0； (2)不含xy这样的二次项，即C＝0．具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件． [点睛]　点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化．(　　) (3)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2，3)　　　　　　　　B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：选D　∵－＝2，－＝－3， ∴圆心坐标是(2，－3). 3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案：A 4．圆心是(－3，4)，经过点M(5，1)的圆的一般方程为________． 解析：由题意得，圆的半径r＝＝，圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73，展开化为一般式方程得x2＋y2＋6x－8y－48＝0. 答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0 题型一　圆的一般方程的概念 [例 1]　(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线是以(－2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　) A．4，－6，3 B．－4，6，3 C．－4，6，－3 D．4，－6，－3 (2)方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． 解析：(1)选D　圆心为， 所以－＝－2，－＝3，所以D＝4，E＝－6， 又R＝ 代入算得F＝－3. (2)法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F＞0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ ＝|m－2|. 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：判断D2＋E2 －4F是否大于零，确定它是否表示圆． [ 提醒]　在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数．　　 　已知方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示的曲线是圆，则实数a的值是________． 解析：把方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0化简整理， 可得a2＋(a＋2)y2＝1－a， 因为此曲线表示圆， 所以a2＝a＋2，并且1－a＞0， 所以解得a＝－1. 答案：－1 题型二　求圆的一般方程 [例 2]　(1)过点C(－1，1)和D(1，3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程为________． (2)已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程． 解析：(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为， 所以所以 所以所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0. 答案：x2＋y2－2x－2y－2＝0 (2)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 解得 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 圆的方程的设法技巧 (1)如果是由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F.　　 　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程． 解：易知圆心C， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，① 又r＝＝，所以D2＋E2＝20，② 由①②可得或 又圆心在第二象限，所以－＜0，即D＞0， 所以所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$