第1章 2.1 圆的标准方程（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2　圆与圆的方程 §2.1　圆的标准方程 学习目标 素养要求 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征． 2.能根据所给条件求圆的标准方程． 3.掌握点与圆的位置关系． 1.通过圆的标准方程及其特征的学习，培养直观想象的核心素养． 2.借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　圆的标准方程 [问题1]　圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素是什么？各要素与圆具有怎样的关系？ 答：圆心和半径．圆心：确定圆的位置；半径：确定圆的大小． [问题2]　若已知圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a，b，r都是常数，r＞0).设M(x，y)为这个圆上的任意一点，那么点M满足的条件是什么？该圆如何用集合来表示？ 答：|MC|＝r，P＝{M||MC|＝r}． ►知识填空 圆的标准方程 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)①，平面内圆C上的点P的坐标(x，y)满足方程①，反之，以满足方程①的(x，y)为坐标的点P一定在圆C上．因此，方程①就是以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，称此方程为圆的标准方程． 知识点二　点与圆的位置关系 [问题]　平面内任意一点M(x，y)到圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2圆心C(a，b)的距离如何求，怎样判断点M与圆C的位置关系？ 答：|MC|＝_ 当|MC|＞_r时，点M在圆C外； 当|MC|＝r时，点M在圆C上； 当|MC|＜r时，点M在圆C内． ►知识填空 点与圆的位置关系的判定 圆C的圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)，则点M1(x1，y1)在圆C外的充要条件是(x1－a)2＋(y1－b)2＞r2；点M2(x2，y2)在圆C内的充要条件是(x2－a)2＋(y2－b)2＜r2. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定.(　　) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(1，－1)，半径长是2.(　　) (4)点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．圆心为(－2，3)，半径长为2的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝2 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 答案：B 3．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足(　　) A．是圆心　　　　　　　B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 答案：C 4．圆(x＋1)2＋(y－)2＝a2(a≠0)的圆心为________，半径长为________． 解析：由圆的标准方程知，圆心为(－1，)，半径r＝|a|. 答案：(－1，)　|a| 5．圆心为C(1，－5)，且经过原点的圆的方程是________________________________________________________________________． 解析：由条件知，r2＝12＋(－5)2＝26，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝26. 答案：(x－1)2＋(y＋5)2＝26 题型一　求圆的标准方程 [例 1]　(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 (2)已知圆过点A(1，－1)，B(－1，1)，求圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． 解析：(1)选A　设圆心(0，m)，依题意＝1，解得m＝2. ∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1，故选A. (2)法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：设点C为圆心， ∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a，2－a). 又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|. ∴ ＝， 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x，则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由得即圆心为(1，1)， 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 　　 若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________． 解析：因为圆C的圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，所以圆心坐标为(0，1)，且圆C的半径为1，所以所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝1. 答案：x2＋(y－1)2＝1 题型二　点与圆的位置关系 [例 2]　 如图，已知两点P1(4，9)和P2(6，3). (1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 解：(1)设圆心C(a，b)，半径r， 则由C为P1P2的中点得a＝＝5， b＝＝6. 又由两点间的距离公式得 r＝|CP1|＝＝， ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)分别计算点到圆心的距离： |CM|＝ ＝； |CN|＝ ＝＞； |CQ|＝ ＝3＜. 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2； 点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.　　 1．点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆内　　　　　　　　　B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 解析：选B　设O为圆心，r为半径，判断点P与圆的位置关系，即寻求|PO|与r的关系．则|PO|2＝m4＋25＞24＝r2，所以点P在圆外． 2．已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________． 解析：由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26， 即26a＜26，又a≥0， 解得0≤a＜1. 答案：0≤a＜1 题型三　与圆有关的最值问题 [例 3]　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 解：(1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±. 故的最大值为，最小值为－. (2)设y－x＝b，即y＝x＋b， 当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±. 故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. 与圆有关的最值问题的常见题型 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题.　　 (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)距离的平方的最值问题． 已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，则x2＋y2的最大值为________，最小值为________． 解析：由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值． 原点(0，0)到圆心(－1，0)的距离为d＝1， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝， 最小距离为1－＝， 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. 答案：　 [课堂小结] 1．本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给的条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系．难点是根据所给条件求圆的标准方程． 2．求圆的标准方程时常用的几何性质 (1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与切线垂直． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$