第1章 1.6 平面直角坐标系中的距离公式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§1.6　平面直角坐标系中的距离公式 学习目标 素养要求 1.理解并掌握两点间的距离公式，会用公式解决有关问题． 2.探索并掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行直线间的距离． 1.通过平面直角坐标系中距离公式的推导，培养逻辑推理、直观想象的核心素养． 2.通过距离公式的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　两点间的距离公式 [问题1]　在x轴上两点A1(x1，0)，B1(x2，0)间的距离如何计算？ 答：|A1B1|＝|x2－x1|. [问题2]　在y轴上两点C(0，y1)，D(0，y2)间的距离如何计算？ 答：|CD|＝|y2－y1|. [问题3]　你能结合问题1，2推导出平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式吗？ 答：如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝. ►知识填空 两点间的距离公式：若坐标平面内的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＋(y1－y2)2． 知识点二　点到直线的距离公式 [问题1]　直线外一点和直线上的点的连线中哪条线段最短？ 答：垂线段． [问题2]　点A(1，2)到直线x＝5和y＝5的距离分别是多少？ 答：4和3. ►知识填空 点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(其中A，B不全为0). 知识点三　两条平行直线间的距离公式 [问题1]　若过P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到直线l的距离与l′与l的距离相等吗？ 答：相等． [问题2]　怎样求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 答：先在其中一条直线上任取一点P，然后求点P到另一条直线的距离d，d即为两平行直线间的距离． ►知识填空 两条平行线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d，则d＝(A，B不全为0，C1≠C2). [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关.(　　) (2)当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．(　　) (3)在用两平行线间的距离公式时，两方程中x，y的系数对应成比例即可．(　　) (4)点P(x0，y0)到x轴的距离是d＝y0.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　) A．5　　　　　　　　B． C． D．4 解析：选A　|MN|＝＝5. 3．(多选)若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a的值可能为(　　) A．－1　　　B．5　　　C．1　　　D．－5 解析：选AB　由点到直线的距离公式得＝，所以a＝－1或5. 4．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为(　　) A． B． C． D．1 解析：选C　由两平行线间的距离公式可得：d＝＝. 题型一　两点间距离公式的应用 [例 1]　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 解：法一：∵|AB|＝ ＝， |AC|＝ ＝， |BC|＝ ＝， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝， kAB＝＝－，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ ＝， |AB|＝ ＝， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形． 两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一，它主要解决线段的长度问题，体现了数形结合思想的应用．　　 1．(变结论)本例1条件不变，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程． 解：易知M(2，2)，则|AM|＝＝.直线AM的方程为＝，即x－5y＋8＝0. 2．已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设点P(x，0)， 则有|PA|＝＝， |PB|＝ ＝. 由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－.即所求点P为， 且|PA|＝ ＝. 题型二　点到直线、平行线间距离公式的应用 [例 2]　(1)若两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________． (2)求过点A(－1，2)，且与原点的距离等于的直线方程． 解析：(1)由题意，得＝， ∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0， 由两平行线间距离公式，得＝＝. 答案： (2)因为所求直线过点A(－1，2)，且斜率存在， 所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又因为原点到直线的距离等于， 所以＝，解得k＝－7或k＝－1. 故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0. 1．点到直线的距离公式的应用 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可.　　 2．求两平行直线间距离的两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时， d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 经过点M(－2，1)与原点距离为2的直线方程为________． 解析：(1)当经过M点的直线斜率不存在时，过点M且与原点距离为2的直线为x＝－2. (2)当经过M点的直线斜率存在时，可设方程y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋1＋2k＝0. 依题意得＝2，解得k＝， 所求直线为3x－4y＋10＝0. 综上所求直线的方程为x＝－2或3x－4y＋10＝0. 答案：x＝－2或3x－4y＋10＝0 题型三　距离公式的综合应用 [例 3]　已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程． (2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 解：(1)设经过两已知直线交点的直线方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以＝3， 解得λ＝或λ＝2， 所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由 解得交点P(2，1). 如图，过点P作直线l，设d为点A到直线l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)， 所以dmax＝|PA|＝， 此时直线l的方程为3x－y－5＝0. 距离公式综合应用的三种常用类型 (1)最值问题 ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．　　 1．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　) A．8　　　　　　　　　　B．2 C． D．16 解析：选A　x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，因为原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，所以x2＋y2的最小值为8，故选A. 2．两条相互平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解：(1)如图，显然有0＜d≤|AB|. 而|AB|＝＝3， 故所求d的变化范围是(0，3]. (2)由图知，当d取最大值时，两直线均垂直于AB，而kAB＝＝，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. [课堂小结] 1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想． 2．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求． 3．已知两平行直线，其距离可利用公式d＝求解，也可在其中一条直线上取一点，转化为点到另一条直线的距离． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$