第1章 1.4 两条直线的平行与垂直&1.5 两条直线的交点坐标（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§1.4　两条直线的平行与垂直 §1.5　两条直线的交点坐标 学习目标 素养要求 1.理解两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线平行与垂直的判定方法． 2.会判断两条直线是否相交，并能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 1.通过对两条直线位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养． 2.通过求两直线的交点坐标，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　两条直线平行 [问题]　直线l1与直线l2的倾斜角分别是α1，α2，若l1∥l2，则α1与α2满足什么关系？ 答：α1＝α2. ►知识填空 两条平行直线与斜率之间的关系 (1)对于两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2． (2)若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合． (1)直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为(－B，A)，一个法向量为(A，B). (2)设l1：A1x＋B1 y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1，l2的法向量为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，那么l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0.　　 知识点二　两条直线垂直 [问题]　如果两条直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2? 答：一定有l1⊥l2. ►知识填空 两条直线垂直与斜率之间的关系 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0． 设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.　　 知识点三　两条直线的交点坐标 [问题1]　直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的解有什么样的关系？ 答：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之，直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标． [问题2]　已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？ 答：只需写出这两条直线的方程，然后联立求解． ►知识填空 两条直线相交的判断及交点坐标的求法 对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交．若相交，则两条直线l1，l2交点的坐标就是两个方程的公共解，因此，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点坐标． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等.(　　) (2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行．(　　) (3)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1.(　　) (4)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　) A．　　　　　　　　　　B．－ C．2 D．－2 答案：B 3．过点(1，0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案：C 4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________． 解析：设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴k＝＝－2，解得λ＝5. ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 答案：2x＋y－4＝0 题型一　两条直线平行与垂直的判定及应用 [例 1]　a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0，(1)平行；(2)垂直？ 解：法一：当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直； 当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2； 直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，b2＝－. (1)当两直线平行时， 由k1＝k2，b1≠b2，即＝，a≠－， 解得a＝－1或a＝2. 所以当a＝－1或2时，两直线平行． (2)当两直线垂直时， 由k1·k2＝－1，即·＝－1， 解得a＝. 所以当a＝时，两直线垂直． 法二：直线(a－1)x－2y＋4＝0的一个法向量为 n1＝(a－1，－2) 直线x－ay－1＝0的一个法向量为n2＝(1，－a)， (1)由n1∥n2得－a×(a－1)－1×(－2)＝0解得a＝2或a＝－1，经验a＝2或a＝－1时两条直线不重合，故所求a的值为2或－1. (2)两条直线垂直⇔n1·n2＝0.即1×(a－1)＋(－2)(－a)＝0，解得a＝. 1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法 (1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后则k1＝k2，且b1≠b2；若都不存在则还要判定不重合． (2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔ 2. 根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法 (1)若一个斜率为零，则另一个不存在，即垂直x轴．若两个都存在斜率，则化成斜截式后k1k2＝－1. (2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，第二种方法可避免讨论，减小失误．　　 1．(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k＝(　　) A．1　　　　　　　　B．2 C．3 D．5 解析：选CD　k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，显然平行； k＝4时，l1：x＋1＝0，l2：2x－2y＋3＝0，显然不平行； k≠3且k≠4时，要使l1∥l2，应用＝≠⇒k＝5. 综上所述k＝3或5，故选CD. 2．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p＝(　　) A．24 B．20 C．0 D．－4 解析：选B　因为两直线互相垂直，所k1·k2＝－1， 所以－·＝－1，所以m＝10. 又因为垂足为(1，p)，所以代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，所以m－n＋p＝20. 题型二　过两直线交点的直线方程 [例 2]　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 解：法一(直接法)： 解方程组得 所以两直线的交点坐标为. 又因为所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3， 则y－＝－3， 故所求直线方程为15x＋5y＋16＝0. 法二(待定系数法)：设所求直线为l， 因为直线l过已知两直线的交点，因此设直线l的方程为2x－3y－3＋μ(x＋y＋2)＝0(其中μ为常数)， 即(μ＋2)x＋(μ－3)y＋2μ－3＝0. 又直线l与直线3x＋y－1＝0平行， 所以－＝－3且≠， 解得μ＝. 将μ＝代入上式，并整理，得15x＋5y＋16＝0即为所求． 解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线的交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是采用过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据平行条件求待定系数．　　 1．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　) A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0 C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0 解析：选B　由得交点(－1，4). 因为所求直线与3x＋y－1＝0垂直， 所以所求直线斜率k＝， 所以y－4＝(x＋1)， 即x－3y＋13＝0. 2．(变条件)在本例2中将“与直线3x＋y－1＝0平行”改为“与直线3x＋y－1＝0垂直”，其他不变，如何求？ 解：两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为. 又与直线3x＋y－1＝0垂直，故所求直线的斜率为，即所求直线的方程为y＋＝，即5x－15y－18＝0. 题型三　直线过定点问题 [例 3]　求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点． 证明：法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3， 故l1与l2的交点为P(－3，3). 将点P(－3，3)代入方程左边， 得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3， ∴点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上． ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3). 法二(分离参数法)：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0. 则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点． 由方程组得 ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3). 解含有参数的直线恒过定点问题的两种方法 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).　　 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 解：(1)证明：直线l的方程可化为y－＝a，所以不论a取何值，直线l恒过定点A，又点A在第一象限，所以不论a取何值，直线l恒过第一象限． (2)令x＝0，y＝，由题意，≤0， 解得a≥3. 所以a的取值范围为[3，＋∞). [课堂小结] 1．两直线平行或垂直的判定方法 斜率 位置关系 斜率均不存在 平行或重合 一条直线的斜率为0，另一条直 线的斜率不存在 垂直 斜率 均存在 相等 平行或重合 积为－1 垂直 2.方程组有唯一解的主要条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2). 3．利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，要对字母进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$