第1章 1.3 第1课时 直线方程的斜点式和直线方程的两点式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式和直线方程的两点式 学习目标 素养要求 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会利用它们求直线的方程． 2.掌握直线方程的两点式和截距式，会选择适当的形式求直线方程． 1.通过直线方程的几种形式的学习，培养直观想象、数学抽象的核心素养． 2.通过选择适当的形式求直线的方程，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　直线方程的点斜式和斜截式 [问题1]　 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？ 答：由斜率公式得k＝，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0). [问题2]　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则直线l的方程是什么？ 答案：将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b. ►知识填空 1．直线的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式和斜截式 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 点斜 式 点P(x0， y0)和斜 率k y－y0＝ k(x－x0) 斜率存在 的直线 续表 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 斜截 式 斜率k和 在y轴上 的截距b y＝kx＋b 斜率存在 的直线 特殊地：直线l经过P(x0，y0).k＝0时l的方程为y＝y0；k不存在时l的方程x＝x0． 知识点二　直线方程的两点式和截距式 [问题1]　已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？ 答：因为x1≠x2，所以直线的斜率k＝，由直线的点斜式方程，得y－y1＝(x－x1).因为y1≠y2，所以方程两边同除以y2－y1，得＝. [问题2]　已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，如何求直线l的方程？ 答：将两点A(a，0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得＝，即＋＝1. ►知识填空 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 两点 式 P1(x1，y1)， P2(x2，y2) 其中x1≠x2 且y1≠y2 ＝ 其中 x1≠x2， y1≠y2 斜率存在 且不为0 截距 式 在x，y轴上 的截距分 别为a，b 且ab≠0 ＋＝1 与两坐标 轴不平行 且不过原点 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过点(x0，y0)、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成＝k.(　　) (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b即为一次函数的解析式．(　　) (3)过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程＝表示．(　　) (4)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　) A．2　　　　　　　　　　B．－1 C．3 D．－3 答案：C 3．经过点A(－3，2)，B(4，4)的直线的两点式方程为(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析：选A　由方程的两点式可得直线方程为＝，即＝. 4．直线y＝3x－2的斜率为________，在y轴上的截距为________． 解析：直线y＝3x－2的斜率为3，在y轴上的截距为－2. 答案：3　－2 5．过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________． 答案：＋＝1 题型一　利用点斜式求直线的方程 [例 1]　(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5，2)且平行于y轴的直线方程为________． (3)求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 解析：(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5. (3)因为直线y＝ x的斜率为，所以倾斜角为30°. 所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为. 所以所求直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2). 答案：(1)y－5＝x－2　(2)x＝－5　(3)y＋3＝(x－2) 求直线的点斜式方程的步骤 [提醒]　斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.　　 求下列各条件下的直线方程． (1)经过点(，－3)，倾斜角为30°的直线； (2)经过点(2，1)且垂直于y轴的直线； (3)经过点(－7，2)且平行于y轴的直线． 解：(1)由题意知：k＝tan 30°＝， ∴直线方程为y－(－3)＝(x－). 整理得y＋3＝x－1，即y＝x－4. (2)∵直线垂直于y轴，∴直线斜率为0， ∴方程为y＝1. (3)∵直线平行于y轴，∴直线斜率不存在， ∴方程为x＝－7. 题型二　利用斜截式求直线的方程 [例 2]　根据条件写出下列直线方程的斜截式． (1)斜率为－，在y轴上截距为－2； (2)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程的斜截式为y＝－x－2. (2)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程的斜截式为y＝x＋3或y＝x－3. 已知直线的斜率与y轴上的截距，可直接写出直线的方程；已知直线的斜截式方程，可得直线的斜率与y轴上的截距．直线的斜截方程形式简单，特点明显，是运用较多的直线方程的形式之一．　　 1．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则l的斜截式方程为________． 解析：设直线方程为y＝x＋b， 则当x＝0时，y＝b； y＝0时，x＝－6b. 由已知可得·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线l的斜截式方程为y＝x＋1或y＝x－1. 答案：y＝x＋1或y＝x－1 2．求倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的，且满足在y轴上的截距是－3的直线方程． 解：因为直线的方程为y＝x＋1， 所以k＝，倾斜角为60°， 由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为. 因为所求直线在y轴上的截距为－3， 所以由斜截式知所求直线方程为y＝x－3. 题型三　直线方程的两点式和截距式 [例 3]　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________． (3)直线l过点(－3，3)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． 解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2. (2)由直线方程的两点式得 ＝，即＝. ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， ∵点P(3，m)在直线AB上， 则m＋1＝－3＋2，得m＝－2. (3)由题意设直线l的方程为 ＋＝1，由a＋b＝12，① 又直线l过点(－3，3)，所以＋＝1，② 联立①②解得 或 故所求的直线方程为 ＋＝1或＋＝1. 答案：(1)x＝2　(2)－2　(3)见解析 利用两点式求直线方程 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．　　 　已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解：(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5). (2)设BC的中点M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M，又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以＝， 即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. [课堂小结] 1．本节课重点学习了直线方程的四种形式，注意各形式方程的适用范围，灵活选用方程的形式求解． 2．与直线的截距、斜率有关问题的注意点 (1)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零． (2)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$