第1章 1.1 一次函数的图象与直线的方程&1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

　直线与圆 §1　直线与直线的方程 §1.1　一次函数的图象与直线的方程 §1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 学习目标 素养要求 1.了解直线与方程的对应关系，理解直线的倾斜角、斜率的概念． 2.掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系． 1.通过直线与方程的对应关系，直线的倾斜角与斜率的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.借助直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系的应用，提升直观想象、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　一次函数的图象与直线的方程 [问题]　我们知道，一次函数y＝x＋1的图象是一条直线，设为l. (1)满足函数解析式y＝x＋1的每一对x，y的值都是直线l上点的坐标吗？ 答：都是． (2)直线l上每一点的坐标(x，y)都满足函数解析式y＝x＋1吗？ 答：都满足． ►知识填空 直线与方程的对应关系 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标点构成的．同时函数解析式y＝kx＋b可以看作二元一次方程．在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题． 知识点二　直线的倾斜角和斜率 [问题]　在平面直角坐标系中，过一点P(1，1)可以作出多少条直线？这些直线区别在哪里？ 答：无数条，区别是它们的倾斜程度不同． ►知识填空 1．直线的倾斜角 定义 对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0 记法 α 图示 范围 [0，π) 2.直线的斜率在直线l上任取两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1，则k＝的大小与两点P1，P2在直线上的位置无关，称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． (1)若直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在；若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一． (2)斜率的意义，常用斜率来表示直线的倾斜程度． 知识点三　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 [问题]　在直线l上取两点P1(1，1)，P2(2，2)，那么是l的一个方向向量吗？直线l的方向向量有多少个？ 答：是；有无数个，它们平行或共线． ►知识填空 1．直线的斜率与倾斜角的关系 (1)斜率k与倾斜角α数值关系 倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝tan α. (2)斜率k的符号与倾斜角α的关系 当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大；当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． 2．直线的斜率与方向向量、倾斜角三者之间的关系 如图，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝＝tan_α(其中x1≠x2)．若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．(　　) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．(　　) (3)直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大．(　　) (这是边文，请据需要手工删加) (这是边文，请据需要手工删加) 数学　选择性必修第一册(BS)(这是双页眉，请据需要手工删加) 第一章　直线与圆(这是单页眉，请据需要手工删加) (4)若直线l的一个方向向量的坐标为(x0，y0)，则l的斜率为.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　) A．45°　　　　　　　　　　B．135° C．45°或135° D．60° 答案：A 3．(多选)设一次函数y＝2x＋c(c为常数)的图象为直线l，那么直线l的一个方向向量可以为(　　) A．(1，－2) B．(1，2) C．(－2，4) D．(－2，－4) 答案：BD 4．若直线l过点A(1，－1)，B(3，m)，且斜率为2，则实数m的值为________． 解析：根据题意，直线l过点A(1，－1)，B(3，m)， 则其斜率k＝＝2，解得m＝3. 答案：3 5．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，4)共线，则a＝________． 答案：4 题型一　直线的倾斜角 [例 1]　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° 解析：选D　根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α＜180°，显然A、B、C未分类讨论，均不全面， 不合题意，通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 求直线倾斜角的方法及关注点 定义法 根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角 关注点 结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论 　　 (多选)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　) A.α　　　　　　　　B．180°－α C．90°－α D．90°＋α 解析：选CD　当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 题型二　直线的斜率、方向向量 [例 2]　已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1). (1)当m为何值时，直线l的斜率是1? (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？求此时直线l的一个方向向量． 解：(1)kMN＝＝1，解得m＝. (2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.此时l的一个方向向量为(0，1). (1)已知直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)，表示直线的斜率时，要注意直线斜率存在的前提，即只有x1≠x2时才能用斜率公式求解．当x1＝x2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.当点的坐标中含有参数时，要注意对参数的讨论． (2)直线的方向向量有无数个，当直线的斜率k存在时，它的一个方向向量为(1，k)，当斜率不存在时，它的一个方向向量为(0，1).　　 1．若直线过点(1，2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选A　设直线的倾斜角为α， ∵直线的斜率k＝＝， ∴tan α＝. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°. 2．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线l的斜率等于1，则m的值是________；直线l的一个方向向量为________． 解析：由斜率的定义可得＝1， 解得m＝. 直线l的一个方向向量为(1，1). 答案：　(1，1) 题型三　直线的倾斜角、斜率的应用 [例 3]　(1)已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值． (2)已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． ①求直线l的斜率k的取值范围； ②求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：(1)由题意可知kAB＝＝2， kAC＝＝，kAD＝＝. 因为A，B，C，D四点在同一条直线上， 所以k＝2＝＝， 解得a＝4，b＝－3， 所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3. (2)如图，由题意可知 kPA＝＝－1， kPB＝＝1， ①要使l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞). ②由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， ∴α的取值范围是45°≤α≤135°. 研究直线的倾斜角与斜率间的关系，在求解过程中通常是先依据题意画出草图，然后结合斜率的几何意义，利用数形结合的思想，找出斜率变化的分界点，最后依据斜率与倾斜角的关系得出明确的结论．　　 　已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2). (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 解：(1)由斜率公式可得 直线AB的斜率kAB＝＝， 直线AC的斜率kAC＝＝. (2)如图所示，当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. [课堂小结] 1．本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念以及直线的方向向量的概念，难点是掌握斜率与倾斜角、方向向量之间的关系． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求直线倾斜角的方法． (2)求直线斜率的方法． (3)直线的倾斜角与斜率之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$