3.4 函数的应用（一）教案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教 A 版必修一《函数的应用（一）》 教学方案 一、教学内容 1.知识要点：深入剖析实际问题，引导学生学会从复杂情境中提炼关键信息，明确变量与常量。重点讲解如何依据变量间的内在联系，构建一次函数、二次函数及分段函数模型。详细阐述利用这些函数模型解决诸如成本核算、利润优化、资源分配等实际问题的流程与方法。 2.内容解析 ◦本质：核心在于借助函数概念及其蕴含的数学思想，将现实生活中的问题抽象为数学问题，通过构建合适的函数模型予以解决。所涉及的例题均围绕分段函数展开，本质上是运用一次函数搭建简单的函数模型。 ◦思想方法：在分析函数变化规律时，充分运用数形结合思想，通过函数图像直观呈现函数的性质与变化趋势；在确定函数关系过程中，合理运用分类讨论思想，针对不同情况分别构建函数表达式。 ◦知识关联：学生此前已学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数以及分段函数，对函数有了一定程度的认识与理解，具备建立简单实际问题解析式的能力。本节课在此基础上，进一步深化函数知识在实际问题中的应用。后续内容还将涉及更为复杂的、需根据实际背景自主构建数学模型的应用问题。 ◦育人价值：学生在经历从实际问题到函数模型构建，再利用模型分析和解决问题的全过程中，深切体会数学在解决现实问题中的重要价值与作用，增强数学与日常生活紧密联系的认知，从而有效培养应用意识，激发学习数学的兴趣，提升实践能力。 1.教学重点：熟练掌握运用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题的方法与技巧。 二、教学目标 1.数学抽象素养：学生能够精准地从实际问题中抽象出数学模型，尤其是熟练运用函数关系对实际问题进行准确描述与求解，显著提升数学抽象能力。例如，在面对商场促销活动中价格与销量的关系问题时，能迅速识别变量并构建函数模型。 2.逻辑推理素养：通过深入分析实际问题中的数量关系，学生能够合理且准确地构建函数表达式，并灵活运用函数的性质进行逻辑推理与判断。如在研究企业生产中成本与产量的函数关系时，依据函数单调性判断成本变化趋势。 3.数学建模素养：学生切实掌握将现实问题转化为数学问题（如构建函数模型）的基本流程与方法，大幅提高解决实际问题的能力。以城市交通流量随时间变化问题为例，能成功构建函数模型并分析预测。 4.数据分析素养：学会运用函数图像和性质对相关数据进行深入分析，准确把握数据的变化趋势，进而对实际问题中的现象进行合理预测与解释。比如，通过分析股票价格随时间变化的函数图像，解读价格波动原因。 5.直观想象素养：借助函数图像，学生能够直观地感知函数的变化规律，有效增强空间想象能力和几何直观能力。例如，通过观察二次函数图像，直观理解函数的最值、对称轴等性质。 三、教学重难点 1.教学重点 ◦深刻理解并熟练掌握函数模型在实际问题中的应用原理与方法。 ◦能够根据实际问题的具体特征，准确构建合适的函数模型，并高效求解相关问题。 1.教学难点 ◦如何引导学生突破思维障碍，准确无误地将实际问题抽象为数学函数模型，尤其是在复杂情境下准确提炼变量关系。 ◦灵活且准确地应用函数性质（如单调性、最值等）解决实际问题，避免因对性质理解不深导致的应用错误。 四、教学方法 1.问题驱动法：引入一系列紧密贴近生活实际的问题，如电商平台的优惠策略制定、共享单车的投放规划等，激发学生的好奇心与探索欲望，促使学生主动思考，积极寻求解决问题的方法。 2.合作学习法：将学生分成小组，针对复杂的实际问题展开讨论。在小组合作中，学生相互交流思路，共同构建函数模型，通过思维的碰撞，培养团队协作能力与创新思维。 3.讲授与演示结合法：运用多媒体手段，生动展示函数图像的动态变化过程以及函数模型在实际问题中的应用案例。同时，结合详细的理论讲解，让学生直观且深入地理解函数知识与实际应用的联系。 4.实践操作法：安排学生进行实际问题的调研与分析，如调查校园内饮料售卖机的销售情况，收集数据并尝试构建函数模型。通过亲身体验，加深对函数应用的理解与掌握。 五、教学过程 1.导入新课（5 分钟） ◦情境创设：利用多媒体展示一段关于电商 “双十一” 购物节的视频，视频中呈现不同商家的各种优惠活动，如满减、折扣、赠品等。随后展示相关数据，如不同价格区间商品的销量变化、销售额随时间的增长趋势等。 ◦问题引导：提出问题，如 “商家如何制定优惠策略才能实现利润最大化？”“从数据中能否发现商品价格与销量之间的函数关系？” 引导学生观察视频和数据，思考如何运用函数知识来描述和解决这些问题，从而引入本节课的主题 —— 函数的应用（一）。 2.讲解新课（20分钟） ◦知识回顾与铺垫（3 分钟）：简要回顾函数的基本概念，包括函数的定义、定义域、值域、表示方法等。重点回顾一次函数、二次函数、分段函数的表达式、图像特征及性质，为后续构建函数模型奠定基础。例如，通过提问 “一次函数的表达式是什么？它的图像有什么特点？” 引导学生复习相关知识。 ◦案例深度剖析（10分钟） ▪案例一：一次函数模型在出租车计费问题中的应用：以本地出租车计费规则为例，起步价 8 元（3 公里内），超过 3 公里后每公里收费 2 元。设行驶里程为 x 公里，车费为 y 元。引导学生分析，当 0＜x≤3 时，y=8；当 x＞3 时，y=8+2 (x-3)。通过此案例，让学生明确如何根据实际条件确定函数定义域和表达式，及如何利用模型计算不同里程的车费。 ▪案例二：二次函数模型在农业种植收益问题中的应用：某农户种植蔬菜，每亩成本 2000 元，每亩种植 x 株时，每株产量 y 千克且 y=-0.1x²+10x+20，蔬菜售价每千克 5 元。引导学生构建利润与种植株数的函数关系，利润 P=（售价 × 总产量）- 总成本，即 P=5xy-2000x，代入 y 化简得 P=-0.5x³+50x²-1900x。通过分析二次函数性质，引导学生求出利润最大化时的种植株数，并解释实际意义。 ◦方法总结与拓展（7 分钟）：总结构建函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步，审题，仔细分析实际问题，明确问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；第二步，建模，根据变量关系选择合适的函数类型（如一次函数、二次函数、分段函数等），建立函数模型，确定函数的定义域；第三步，求解，利用函数的性质和方法对函数模型进行求解，如求函数的最值、特定值等；第四步，检验，将求解结果代入实际问题中进行检验，看是否符合实际情况，若不符合，需对模型进行调整和优化。同时，拓展介绍一些常见的实际问题与函数模型的对应关系，如人口增长问题可使用指数函数模型，资源衰减问题可使用反比例函数模型等，拓宽学生的思维视野。 3.课堂练习（7分钟） ◦基础练习：给出一道关于水电费计费的问题，某地区居民用电收费标准为：月用电量不超过 150 度时，每度电 0.6 元；超过 150 度但不超过 300 度的部分，每度电 0.7 元；超过 300 度的部分，每度电 0.9 元。设月用电量为x度，电费为y元，求y与x的函数关系式，并计算当x = 200度时的电费。这道题主要考查学生对分段函数模型的构建和应用能力。 ◦提升练习：假设某商场销售某种商品，进价为每件 40 元，当售价为每件 60 元时，每天可销售 100 件。经市场调查发现，售价每降低 1 元，每天可多销售 10 件，但售价不能低于进价。设售价为x元，每天的利润为y元，求y与x的函数关系式，并求出利润最大时的售价和最大利润。这道题综合考查学生对二次函数模型的构建以及利用函数性质求最值的能力。 ◦学生在练习过程中，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并给予针对性的帮助。练习结束后，选取部分学生的解答进行展示和点评，强调解题的思路、方法和注意事项。 4.课堂小结（3 分钟） ◦知识梳理：引导学生回顾本节课所学内容，包括构建函数模型解决实际问题的步骤，一次函数、二次函数、分段函数模型在实际问题中的应用实例，以及如何利用函数性质求解实际问题。 ◦方法提炼：总结从实际问题中抽象出数学模型的技巧，如如何准确识别变量、确定函数类型、建立函数表达式等。强调在应用函数性质解决问题时，要结合实际情况进行分析，确保结果的合理性。 ◦思想升华：再次强调数学与生活的紧密联系，鼓励学生在日常生活中善于发现问题，并运用所学的数学知识进行分析和解决，培养学生的应用意识和创新精神。 5.布置作业（5 分钟） ◦书面作业：布置教材上相关的课后练习题，要求学生认真完成，巩固课堂所学的函数应用知识和方法。例如，完成教材中关于函数模型应用的习题，通过练习进一步熟悉一次函数、二次函数、分段函数模型在不同实际情境中的应用。 ◦实践作业：让学生选择一个身边的实际问题，如家庭每月的消费支出与收入的关系、学校运动会上运动员的成绩与训练时间的关系等，进行调查研究，收集相关数据，尝试构建函数模型，并撰写一份简单的报告。报告内容包括问题描述、数据收集过程、函数模型构建思路、结果分析以及对实际问题的建议等。通过实践作业，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和综合素养。 ◦拓展作业（选做）：提供一些拓展阅读材料，如函数模型在经济学、物理学、生物学等领域的应用案例，让有兴趣的学生自主阅读学习，拓宽知识面。同时，鼓励学生查阅资料，了解更多复杂的函数模型（如指数函数模型、对数函数模型等）在实际中的应用，并尝试思考如何将其应用到自己感兴趣的实际问题中。 六、板书设计 3.4 函数的应用（一） 一、函数模型构建步骤 1. 审题：明确变量、常量及关系 2. 建模：选择函数类型，确定定义域，建立表达式 3. 求解：利用函数性质求解 4. 检验：验证结果合理性 二、案例分析 1. 出租车计费（一次函数模型） - 行驶里程x与车费y关系 - 分段函数表达式 2. 农业种植收益（二次函数模型） - 种植株数x与利润P关系 - 函数表达式及最值求解 三、课堂练习要点 1. 水电费计费（分段函数） 2. 商场销售利润（二次函数） 七、教学反思 1.学生表现观察：在课堂教学过程中，密切观察学生的参与度、思维活跃度以及对知识的理解和掌握程度。关注学生在构建函数模型过程中遇到的困难和问题，如对变量关系的理解偏差、函数类型选择不当、计算错误等。通过课堂提问、学生练习反馈等方式，及时了解学生的学习情况，为后续教学调整提供依据。 2.教学方法评估：反思所采用的教学方法是否有效激发了学生的学习兴趣和主动性，是否有助于学生理解和掌握函数应用的知识与方法。例如，问题驱动法是否成功引导学生思考，合作学习法是否促进了学生之间的交流与合作，讲授与演示结合法是否使抽象的知识变得直观易懂，实践操作法是否增强了学生的实践能力等。根据教学效果评估教学方法的合理性和有效性，对不足之处进行改进和优化。 3.教学内容调整：根据学生的学习情况和教学目标的达成程度，思考教学内容的深度和广度是否合适。若学生对基础知识掌握较好，可适当增加一些拓展性的内容或更具挑战性的实际问题，进一步提升学生的能力；若学生在某些知识点上理解困难，可在后续教学中加强相关内容的讲解和练习，确保学生扎实掌握。同时，关注教学内容与实际生活的联系是否紧密，是否能够让学生切实感受到数学的应用价值，以便对教学内容进行适当的调整和补充。 4.教学资源优化：对教学过程中使用的多媒体课件、案例材料、在线学习资源等教学资源进行评估。检查多媒体课件的展示效果是否清晰、生动，案例材料是否具有代表性和启发性，在线学习资源是否丰富、实用。根据评估结果，对教学资源进行优化和更新，提高教学资源的质量和适用性，为学生提供更好的学习支持。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$