第7章 3 独立性检验（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第七章　统计案例 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 §3　独立性检验 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（四十一） Part 03 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 A1 B1 B2 A1 A2 B1 A2 B2 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 没有关联的 90% 95% 99% 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 课时作业（四十一） 点击进入word 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第六章　概率 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.通过实例了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想方法．2.会用独立性检验解决一些实际问题． 1.通过了解独立性检验的基本思想和方法，培养数学抽象、逻辑推理核心素养．2.通过独立性检验的应用，提升数据分析、数学建模等核心素养． [自主梳理] 知识点　独立性检验的基本思想 [问题]　(1)山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表： 性别 活动方式 合计 体育 文娱 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合计 270 520 790 如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？ 答：可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断． ►知识填空 1．2×2列联表有关概率估计 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝ eq \x\to(A)1；变量B：B1，B2＝ eq \x\to(B)1. 下表是统计中的2×2列联表： B A B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据． 设n＝a＋b＋c＋d，用 估计P(A1B1)， 估计P(A1)， 估计P(B1). 若有式子 eq \f(a,n)＝ eq \f(a＋b,n)· eq \f(a＋c,n)，则可以认为 与 独立； 同理，若 eq \f(b,n)＝ eq \f(a＋b,n)， eq \f(b＋d,n)，则可以认为 与 独立； 若 eq \f(c,n)＝ eq \f(c＋d,n)· eq \f(a＋c,n)，，则可以认为 与 独立； 若 eq \f(d,n)＝ eq \f(c＋d,n)· eq \f(b＋d,n)，则可以认为 与 独立． eq \f(a,n) eq \f(a＋b,n) eq \f(a＋c,n) 2．独立性检验的基本思想 χ2＝ ，统计上已经证明：在变量A ，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1)，当χ2较大时，说明变量之间不独立，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断． (1)当χ2≤2. 706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为A，B是 ； (2)当χ2>2.706时，有 的把握判断变量A，B有关联； (3)当χ2>3.841时，有 的把握判断变量A，B有关联； (4)当χ2>6.635时，有 的把握判断变量A，B有关联． eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)吸烟人群是否与性别有关系，可以用独立性检验解决．(　　) (2)在独立性检验中，若χ2越大，则两个变量有关的可能性越大．(　　) (3)2×2列联表是借助两个分类变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关．(　　) (4)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．在一项中学生近视情况的调查中，获取了如下数据：男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(　　) A．平均数与方差　　　　　B．回归分析 C．独立性检验 D．概率 答案：C 3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，由认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过(　　) A．0.1%　　　　　　　　　B．1% C．99% D．99.9% 解析：选B　∵χ2＝7.069＞6.635，∴认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%. 4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表： 数学成绩　 班别 优秀 及格 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计 19 71 90 则随机变量χ2的值约为(　　) A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004 解析：选A　根据列联表中的数据，可得χ2＝ eq \f(90×(11×37－34×8)2,45×45×19×71)≈0.600.故选A. 题型一　独立性检验的简单应用 [例 1]　(1)(多选)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表： 患病情况 是否服药　　　 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 总计 30 75 105 由上述数据给出下列结论，其中正确的是(　　) 附：χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))， P(χ2≥k) 0.05 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 A.有95%的把握认为该药物有效 B．没有97.5%的把握认为该药物有效 C．有99%的把握认为该药物有效 D．没有99.5%的把握认为该药物有效 (2)为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试问：是否有90%的把握认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有关？ 解：(1)选AD　根据题意χ2＝ eq \f(105(10×30－20×45)2,55×50×30×75)≈6.109. 序号 正误 原因 A √ χ2＝6.109＞3.841，所以有95%的把握认为该药物有效 B × χ2＝6.109＞5.024，所以有97.5%的把握认为该药物有效 C × χ2＝6.109＜6.635，所以没有99%的把握认为该药物有效 D √ χ2＝6.109＜7.879，所以没有99.5%的把握认为该药物有效 综上所述，故选AD. (2)根据题目所给的数据得到如下列联表： 　　 文理科　 有无兴趣 　 理科 文科 总计 有兴趣 138 73 211 无兴趣 98 52 150 总计 236 125 361 根据列联表中数据由公式计算得 χ2＝ eq \f(361×(138×52－73×98)2,211×150×236×125)≈1.871×10-4. 因为1.871×10-4＜2.706， 所以没有90%的把握认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有关． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 解决独立性检验问题的步骤 (1)根据数据列出2×2列联表； (2)根据公式计算χ2的值； (3)比较χ2的值与2.706，3.841和6.635的大小，并作出推断．　 某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．是否有99%的把握认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关？ 解：根据题目所给数据得如下2×2列联表： 产品质量 甲是否在现场　　　　　 　 合格品 次品 总计 甲在生产现场 982 8 990 甲不在生产现场 493 17 510 总计 1475 25 1500 由列联表中的数据可得： χ2＝ eq \f(1500×(982×17－8×493)2,990×510×1475×25)≈13.097＞6.635. 所以有99%的把握认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关． 题型二　独立性检验与概率、统计的综合应用 [例 2]　海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示． (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； 箱产量 养殖法　　　 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较． 附：χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)). 解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表： 箱产量 养殖法　　　 箱产量 ＜50 kg 箱产量 ≥50 kg 单计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 根据列联表数据可得： χ2＝ eq \f(200×(62×66－34×38)2,100×100×96×104)≈15.705. 由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． (3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法． eq \a\vs4\al([反思感悟]) (1)利用统计图表提取相关的数据信息是概率问题的解决基础，需要掌握各类图表中数据的提取方法，常见有频率分布直方图、频率分布表、扇形图、条形图等． (2)独立性检验可以判断两个变量是否有关，并能较为准确地给出这种判断的可信度，χ2越大，说明两个变量有关的可能性越大． (3)高考试卷中的概率统计的命题方向主要是将统计中用样本估计总体的思想与概率的数理分析有机地结合起来进行考查，更为重视数据处理能力在解决问题的过程中的应用． 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))， P(χ2≥k) 0.050 0.010 k 3.841 6.635 解：(1)由调查数据可知，男顾客中对该商场服务满意的比率为 eq \f(40,50)＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率估计值为0.8. 女顾客对该商场服务满意的比率为 eq \f(30,50)＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6. (2)结合列联表数据可得： χ2＝ eq \f(100×(40×20－30×10)2,50×50×70×30)≈4.762. 由于4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． [课堂小结] 1．作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．注意应该是4行4列，计算时要准确无误． 2．列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体，即独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释．比如：χ2>6.635时，就认为有99%以上的把握认为“两个变量有关”，或者说在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“两个变量有关”． 3．通常认为k≤2.706时，样本数据中没有充分的证据支持结论“两个变量有关”． $$