第3章 1 空间直角坐标系（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第三章　空间向量与立体几何 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 §1 空间直角坐标系 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十八） Part 03 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 三条两两垂直 x z y xOy yOz zOx 水平面 垂直 右手系 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 唯一的一个三元 有序实数组(x，y，z) 空间中的一个点P 任意一点P 三元有序实数组(x，y，z) 三元有序实数组(x，y，z) 纵 横 竖 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课时作业（十八） 点击进入word 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.能在空间直角坐标系中求出给定点的坐标．2.掌握空间两点间的距离公式，并能简单应用． 通过空间直角坐标系及两点间距离公式的学习，提升直观想象、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　空间直角坐标系及点的坐标 [问题1]　空间直角坐标系建系的位置不同，点的坐标相同吗？ 答：建立坐标系是解题的关键，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同，因此解题时要慎重建立空间直角坐标系． [问题2]　设点M的坐标为(a，b，c)，过点M分别作xOy平面、yOz平面、xOz平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？ 答：分别是(a，b，0)，(0，b，c)，(a，0，c). ►知识填空 1．空间直角坐标系 过空间任意一点O，作 的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴： 轴、 轴和 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O­xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面．一般是将x轴和y轴放置在 上，那么z轴就 于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为 ． 2．点的坐标 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用 来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定 ．这样，在空间直角坐标系中， 与 之间，就建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z). 叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的 坐标，y叫作点P的 坐标，z叫作点P的 坐标． 知识点二　空间两点间的距离公式 [问题1]　在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x，0，0)，B(0，y，0)，C(0，0，z)与坐标原点O的距离分别是什么？ 答：|OA|＝|x|，|OB|＝|y|，|OC|＝|z|. [问题2]　设点P1 (x1，y1，z1) ，P2 (x2，y2，z2 )在xOy平面上的射影分别为M，N.则M，N的坐标分别是什么？点M，N之间的距离如何？ 答：M(x1，y1，0)，N(x2，y2，0)；|MN|＝ eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2). ►知识填空 空间两点间的距离公式：已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝ eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2).这就是空间两点间的距离公式． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.(　　) (2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.(　　) (3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反．(　　) (4)将空间两点间公式中的两点的坐标位置互换，结果保持不变．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于xOy平面对称的点的坐标是(　　) A．(－1，3，－5)　　　　　B．(1，3，5) C．(1，－3，5) D．(－1，－3，5) 答案：B 3．在空间直角坐标系中，A(－1，2，3)，B(2，1，m)，若|AB|＝ eq \r(110)，则m＝________． 答案：－7或13 4．在空间直角坐标系中，点A(2，3，4)关于点P(－3，－2，1)的对称点为B，则B点的坐标为________________，|AB|＝________． 答案：(－8，－7，－2)　2 eq \r(59) 题型一　求空间点的坐标 [例 1]　 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)若N为棱CC1的中点，求点N的坐标． 解：(1)显然D(0，0，0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，所以A(3，0，0). 同理，可得C(0，4，0)，D1(0，0，5). 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3，4，0). 同理，可得A1(3，0，5)，C1(0，4，5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3，4，5). (2)由(1)知C(0，4，0)，C1(0，4，5)，则C1C的中点N为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0,2)，\f(4＋4,2)，\f(0＋5,2)))， 即N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(5,2))). [反思感悟] (1)若坐标系已给出，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．　　 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求各个顶点的坐标． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上． ∵|P1P2|＝2，且P1，P2，P3，P4均在xOy平面上， ∴P1(1，1，0)，P2(－1，1，0). 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称， ∴P3(－1，－1，0)，P4(1，－1，0). 又|SP1|＝2，|OP1|＝ eq \r(2)， ∴在Rt△SOP1中，|SO|＝ eq \r(2)， ∴S(0，0， eq \r(2)). (答案不唯一，也可选择其他的点建系) 题型二　空间中点的对称问题 [例 2]　在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． 解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4). (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3(6，－3，－12). [反思感悟] 求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．” 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 点P(－3，2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1，2，1)的对称点是________． 解析：点P关于平面xOz对称后，它的纵坐标变为相反数，其他不变，因此第一个应填(－3，－2，－1)；P关于z轴对称后，它的竖坐标没变，横、纵坐标变为相反数，因此第二个应填(3，－2，－1)；设P关于M(1，2，1)对称后的点为(x，y，z)，则由中点坐标公式，得 eq \f(－3＋x,2)＝1， eq \f(2＋y,2)＝2， eq \f(－1＋z,2)＝1，解得x＝5，y＝2，z＝3.因此第三个应填(5，2，3). 对称轴 或对称平面(中心) 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 答案：(－3，－2，－1)　(3，－2，－1)　(5，2，3) 题型三　空间两点间距离公式的应用 [例 3]　(1)已知 A(1, －2，11) ，B(4，2，3) ，C(6, －1，4)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形　　　B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 (2)如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O­xyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值． 解：(1)选C　∵|AB|＝ eq \r((4－1)2＋(2＋2)2＋(3－11)2)＝ eq \r(89)， |BC|＝ eq \r((6－4)2＋(－1－2)2＋(4－3)2)＝ eq \r(14)， |AC|＝ eq \r((6－1)2＋(－1＋2)2＋(4－11)2)＝ eq \r(75)， ∴|BC|2＋|AC|2＝|AB|2. 即△ ABC是直角三角形．故选C. (2)依题意P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))设点Q(0，1，z)， 则|PQ|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－z))\s\up12(2)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))， 所以当z＝ eq \f(1,2)时，|PQ|min＝ eq \f(\r(2),2)， 此时Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Q恰为CD的中点． [反思感悟] 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．　 如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度． 解： 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所以直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， ∴|DE|＝ eq \r((1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2)＝ eq \r(5)， |EF|＝ eq \r((0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2)＝ eq \r(6). [课堂小结] 1．空间中确定点M坐标的三种方法 (1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标． (2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标． (3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标． 2．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想． $$