第2章 1.1 椭圆及其标准方程（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第二章　圆锥曲线 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 §1 椭　圆 §1.1 椭圆及其标准方程 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十） Part 03 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 常数(大于|F1F2|) F1，F2 F1F2 |F1F2| 垂直平分线 中点 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 (－c，0)，(c，0) (0，－c，)，(0，c) a2＝b2＋c2 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课时作业（十） 点击进入word 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决有关问题．2.掌握椭圆的标准方程，了解其推导过程，会求椭圆的标准方程． 1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养．2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　椭圆的定义 [问题1]　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？ 答：固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离即可._ [问题2]　在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 答：到两个定点的距离和等于常数． [问题3]　在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． ►知识填空 1．椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 的点的集合(或轨迹)叫作椭圆． 这两个定点 叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离 叫作椭圆的焦距． 2．椭圆的对称性 椭圆是轴对称图形，直线 及线段F1F2的 都是它的对称轴；椭圆也是中心对称图形，线段F1F2的 是它的对称中心． 知识点二　椭圆的标准方程 [问题1]　根据椭圆的几何特征，如何建立坐标系求椭圆的方程？ 答：以两定点F1，F2所在的直线为x轴，F1F2的中点为坐标原点建立坐标系，然后按照求轨迹方程直接法的步骤求出椭圆方程． [问题2]　建系时，如果把焦点放在y轴上，是不是能得到另外一种形式的椭圆？ 答：是． ►知识填空 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 a，b，c的关系 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) [拓展]　 (1)a2＝c2＋b2，a＞b＞0，a最大，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”． (2)方程中的两个参数a与b，确定椭圆的形状和大小；焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型． (3)椭圆的焦点三角形 设P为椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形． ①焦点三角形的面积，S＝b2 tan eq \f(α,2). ②焦点三角形周长L＝2a＋2c. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆．(　　) (2)椭圆的焦点只能在坐标轴上．(　　) (3)方程 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)不一定表示椭圆．(　　) (4)两种椭圆的标准方程中，有时a＞b＞0，有时b＞a＞0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,169)＝1的焦点坐标为(　　) A．(5，0)，(－5，0) B．(0，5)，(0，－5) C．(0，12)，(0，－12) D．(12，0)，(－12，0) 答案：C 3．(多选)以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0，2)的椭圆的标准方程是(　　) A． eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,4)＝1　　　　　B． eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,4)＝1 C． eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,4)＝1 D． eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1 答案：AB 4．若方程 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________． 答案：(－6，－2)∪(3，＋∞) 题型一　对椭圆标准方程的理解 [例 1]　(1)若方程 eq \f(x2,25－m)＋ eq \f(y2,m＋9)＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9，25)　　　B．(－9，8)∪(8，25) C．(8，25) D．(8，＋∞) (2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________． 解析：(1)依题意有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(25－m＞0，,m＋9＞0，,m＋9≠25－m，)) 解得－9＜m＜8或8＜m＜25， 即实数m的取值范围是(－9，8)∪(8，25). (2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为 eq \f(x2,1)＋ eq \f(y2,－\f(1,3m))＝1， 依题意有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,3m)＞0，,1＞－\f(1,3m)，))解得m＜－ eq \f(1,3)， 即实数m的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))). 答案：(1)B　(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))) [反思感悟] (1)给出方程 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,n)＝1，其表示椭圆的条件是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＞0，,n＞0，,m≠n，))其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0. (2)若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式 eq \f(x2,\f(C,A))＋ eq \f(y2,\f(C,B))＝1，再研究其焦点的位置等情况．　 已知椭圆的标准方程为 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为________． 解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4. 当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程如a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝ eq \r(34).综上，实数m的值为4或 eq \r(34). 答案：4或 eq \r(34) 题型二　求椭圆的标准方程 [例 2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3 eq \r(2))； (2)经过两点(2，－ eq \r(2))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))). 解：(1)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0). 由椭圆的定义知2a＝ eq \r((4－0)2＋(3\r(2)＋2)2)＋ eq \r((4－0)2＋(3\r(2)－2)2)＝12，所以a＝6. 又c＝2，所以b＝ eq \r(a2－c2)＝4 eq \r(2). 所以椭圆的标准方程为 eq \f(y2,36)＋ eq \f(x2,32)＝1 法二：因为椭圆的焦点在y轴上， 所以可设其标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(18,a2)＋\f(16,b2)＝1，,a2＝b2＋4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝32.)) 所以椭圆的标准方程为 eq \f(y2,36)＋ eq \f(x2,32)＝1. (2)法一：若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0). 由已知条件得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4)．)) 所以所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1. 同理可得，焦点在y轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1. 法二：设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B). 将两点(2，－ eq \r(2))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，,))所以所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1. [反思感悟] 1．求椭圆标准方程的方法 方法 内容 适合题型或条件 定义法 分析条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定方程 动点满足|MA|＋|MB|＝2a，且2a＞|AB| 待定 系数法 由题设条件能确定方程类型，设出标准方程，再代入已知数据，求出相关参数 ①已知椭圆上的点的坐标； ②已知焦点坐标或焦点间距离 2.椭圆标准方程的设法技巧 当椭圆的焦点位置不确定时，可设方程为 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0且m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)，这种形式在解题中较为方便． 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)经过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和点Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3)). 解：(1)由于椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0). 由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))故所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,4)＋x2＝1. (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25)．)) ∴椭圆方程为x2＋ eq \f(y2,25)＝1. 题型三　椭圆定义的应用 [例 3]　如图所示，已知椭圆的方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求： (1)△PF1F2的面积； (2)求点P的坐标． 解：(1)由已知得a＝2，b＝ eq \r(3)，所以c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② 将②代入①解得|PF1|＝ eq \f(6,5).∴S△PF1F2＝ eq \f(1,2)|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝ eq \f(1,2)× eq \f(6,5)×2× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3\r(3),5)， 即△PF1F2的面积是 eq \f(3,5) eq \r(3). (2)设P(x，y)，由(1)知S△PF1F2＝ eq \f(3\r(3),5)， 又S△PF1F2＝ eq \f(1,2)|F1F2||y|＝ eq \f(1,2)×2|y|， 所以|y|＝ eq \f(3\r(3),5)， 代入椭圆方程 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1得x＝± eq \f(8,5)， 又因为点P在第二象限， 所以点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，\f(3\r(3),5))). [反思感悟] 1．椭圆定义的应用 (1)实现两个焦点半径之间的相互转化． (2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题． 2．椭圆定义解题的整体思想 对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S＝ eq \f(1,2)ab sin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量.　 1．若点P在椭圆C： eq \f(x2,4)＋y2＝1上，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(　　) A. eq \r(3)　　　　　　　　　　　B．3 C.4 D．1 解析：选D　∵椭圆C： eq \f(x2,4)＋y2＝1， ∴a2＝4，b2＝1.可得c＝ eq \r(3)， 因此Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2 eq \r(3)， 由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝12，① 根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，② ①②联立，可得|PF1|·|PF2|＝2， ∴△F1PF2的面积S＝ eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1. 故选D. 2．若椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为________． 解析：由椭圆方程 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1知a＝5，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，令|PF1|＝5，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝5. 答案：5 [课堂小结] 1．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n). 2．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件． 3．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置． $$