第1章 2.3 直线与圆的位置关系（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第一章　直线与圆 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 §2 圆与圆的方程 §2.3 直线与圆的位置关系 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（八） Part 03 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 两个 一个 零个 d＜r d＝r d＞r 两组 一组 没有 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课时作业（八） 点击进入word 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.理解直线与圆的三种位置关系．2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．3.能解决直线与圆位置关系的综合问题． 1.通过直线与圆位置关系的学习，培养直观想象的核心素养．2.通过解决直线与圆位置关系的综合问题，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　直线与圆的位置关系 [问题1]　直线与圆有几种位置关系？ 答：3种，相交、相切和相离． [问题2]　怎样用几何法判断直线和圆的位置关系？ 答：利用圆心到直线的距离d与圆半径的大小关系判断它们之间的位置关系，若d＞r，直线与圆相离；若d＝r，直线与圆相切；若d＜r，直线与圆相交． [问题3]　除了几何法还有什么方法可以判断直线与圆的位置关系？ 答：根据直线与圆的方程，用代数法可以判断． ►知识填空 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点 判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))(A，B不全为0) 代数法：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,(x－a)2＋(y－b)2＝r2)) 不同解 实数解(两组相等实数解) 实数解 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断．(　　) (2)过圆外一点作圆的切线有两条．(　　) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离．(　　) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　B．相切 C．相离 D．相切或相交 答案：A 3．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　) A．0或2 B．2 C． eq \r(2) D．无解 答案：B 4．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________． 答案：4 eq \r(5) 题型一　直线与圆的位置关系的判断 [例 1]　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－ eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m＝0或m＝－ eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜0，即－ eq \f(4,3)＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2，1)，半径r＝2. 圆心(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝ eq \f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝ eq \f(|m－2|,\r(1＋m2)). 当d＜2，即m＞0或m＜－ eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d＝2，即m＝0或m＝－ eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d＞2，即－ eq \f(4,3)＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． [反思感悟] 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．　 直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　B．相离 C．相交或相切 D．相切 解析：选C　直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交．故选C. 题型二　直线与圆的相切问题 [例 2]　过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程． 解：∵点A到圆心C的距离的平方为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，∴点A在圆外． ①若所求的切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4). ∵圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1， ∴ eq \f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝ eq \r(k2＋1)， 解得k＝－ eq \f(15,8)， ∴切线方程为y＋3＝－ eq \f(15,8)(x－4)， 即15x＋8y－36＝0. ②若切线斜率不存在，则切线方程为x＝4，圆心C(3，1)到切线的距离为1，和半径相等，符合题意，∴另一条切线方程是x＝4. 综上所述，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. [反思感悟] 圆的切线的求法 (1)点在圆上时： 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－ eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点在圆外时： ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 1．(变条件)本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，求此切线方程． 解：因为(2－3)2＋(1－1)2＝1， 所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点， 又过圆心(3，1)与点A的直线斜率为0， 故所求切线的方程为x＝2. 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上． 若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程． 解：联立得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝2x－4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，)) 所以圆心C的坐标为(3，2).设切线斜率为k， 若k不存在，不合题意； 若k存在，则切线：y＝kx＋3，可得圆心到切线的距离d＝r，即 eq \f(|3k＋3－2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0或k＝－ eq \f(3,4)， 则所求切线为y＝3或y＝－ eq \f(3,4)x＋3. 题型三　圆的弦长问题 [例 3]　直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4 eq \r(5)，求直线l的方程． 解：据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 法一：联立方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－5＝k(x－5)，,x2＋y2＝25)) 消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0. 由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)＞0， 解得k＞0，又x1＋x2＝－ eq \f(10k(1－k),k2＋1)， x1x2＝ eq \f(25k(k－2),k2＋1). 由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2). ∴|AB|＝ eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2) ＝ eq \r((1＋k2)(x1－x2)2) ＝ eq \r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]) ＝ eq \r((1＋k2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(100k2(1－k)2,(k2＋1)2)－4·\f(25k(k－2),k2＋1)))) ＝4 eq \r(5).两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0， 解得k＝ eq \f(1,2)或k＝2符合题意． 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5， |AH|＝ eq \f(1,2)|AB|＝ eq \f(1,2)×4 eq \r(5)＝2 eq \r(5)， 则|OH|＝ eq \r(|OA|2－|AH|2)＝ eq \r(5). ∴ eq \f(|5(1－k)|,\r(k2＋1))＝ eq \r(5)， 解得k＝ eq \f(1,2)或k＝2. 法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5， |AH|＝ eq \f(1,2)|AB|＝ eq \f(1,2)×4 eq \r(5)＝2 eq \r(5)， 则|OH|＝ eq \r(|OA|2－|AH|2)＝ eq \r(5). ∴ eq \f(|5(1－k)|,\r(k2＋1))＝ eq \r(5)， 解得k＝ eq \f(1,2)或k＝2. ∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. [反思感悟] 求弦长常用的三种方法 圆的性质 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2))) eq \s\up12(2)解题 交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长 弦长公式 设直线l：y＝kx＋b圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝ eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝ eq \r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]) 1．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________． 解析： 如图所示，圆心C到直线AB的距离|CD|＝|AC|·sin60°＝ eq \f(\r(3),2)·|AC|，圆心C的坐标为(1，a)，半径|AC|＝2，所以d＝|CD|＝ eq \f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝ eq \f(\r(3),2)×2，所以(2a－2)2＝3a2＋3，解得a＝4± eq \r(15). 答案：4± eq \r(15) 2．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y＝x上截得弦长为2 eq \r(7)；③圆心在直线x－3y＝0上．求圆C的方程． 解：设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 则由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3b＝0，,|a|＝r，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,\r(2))))\s\up12(2)＋7＝r2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－1，))所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. [课堂小结] 1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系． 2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算． 3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解． $$