第1章 2.2 圆的一般方程（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第一章　直线与圆 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 §2 圆与圆的方程 §2.2　圆的一般方程 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 相同，且不等于0 A＝B≠0 xy 0 必要 充分 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.理解圆的一般方程的特点，会由圆的一般方程求圆心和半径．2.会根据给定的条件灵活选取恰当的方法求圆的一般方程． 1.通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养．2.借助圆的一般方程的求解及其应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　圆的一般方程 [问题1]　圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)展开可得到一个什么式子？ 答：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. [问题2]　把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？ 答：得到的方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(D2＋E2－4F,4). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) D2＋E2－4F＜0 ►知识填空 1．圆的一般方程 (1)当 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其圆心为 ，半径为 ． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2 ＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 ． (3)当 时，方程x2 ＋y2＋ Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． D2＋E2－4F＞0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(1,2)(D2＋E2－4F) 2．圆的一般方程的代数特征 对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： (1)x2，y2的系数 ，即 ； (2)不含 这样的二次项，即C＝ ．具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的 条件，但不是 条件． [点睛] 点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x eq \o\al(2,0)＋y eq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0 点M在圆上 x eq \o\al(2,0)＋y eq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x eq \o\al(2,0)＋y eq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＜0 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化．(　　) (3)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2，3)　　　　　　　　B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：选D　∵－ eq \f(D,2)＝2，－ eq \f(E,2)＝－3， ∴圆心坐标是(2，－3). 3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案：A 4．圆心是(－3，4)，经过点M(5，1)的圆的一般方程为________． 解析：由题意得，圆的半径r＝ eq \r((－3－5)2＋(4－1)2)＝ eq \r(73)，圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73，展开化为一般式方程得x2＋y2＋6x－8y－48＝0. 答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0 题型一　圆的一般方程的概念 [例 1]　(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线是以(－2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　) A．4，－6，3 B．－4，6，3 C．－4，6，－3 D．4，－6，－3 (2)方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． 解析：(1)选D　圆心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))， 所以－ eq \f(D,2)＝－2，－ eq \f(E,2)＝3，所以D＝4，E＝－6， 又R＝ eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)代入算得F＝－3. (2)法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F＞0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝ eq \r(5)|m－2|. 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ eq \r(5)|m－2|. [反思感悟] 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：判断D2＋E2 －4F是否大于零，确定它是否表示圆． [ 提醒]　在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数．　 　已知方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示的曲线是圆，则实数a的值是________． 解析：把方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0化简整理， 可得a2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a))) eq \s\up12(2)＋(a＋2)y2＝1－a， 因为此曲线表示圆， 所以a2＝a＋2，并且1－a＞0， 所以解得a＝－1. 答案：－1 题型二　求圆的一般方程 [例 2]　(1)过点C(－1，1)和D(1，3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程为________． (2)已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程． 解析：(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＝－\f(E,2)，,2－D＋E＋F＝0，,10＋D＋3E＋F＝0，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－2，,F＝－2.)) 所以所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0. 答案：x2＋y2－2x－2y－2＝0 (2)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(22＋22＋2D＋2E＋F＝0，,52＋32＋5D＋3E＋F＝0，,32＋(－1)2＋3D－E＋F＋0，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.)) 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. [反思感悟] 圆的方程的设法技巧 (1)如果是由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F.　　 　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为 eq \r(2)，求圆的一般方程． 解：易知圆心C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－ eq \f(D,2)－ eq \f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2，① 又r＝ eq \f(\r(D2＋E2－12),2)＝ eq \r(2)，所以D2＋E2＝20，②由①②可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.)) 又圆心在第二象限，所以－ eq \f(D,2)＜0，即D＞0， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4，))所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. $$