第1章 1.4 两条直线的平行与垂直&1.5 两条直线的交点坐标（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第一章　直线与圆 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 §1　直线与直线的方程 §1.4　两条直线的平行与垂直 §1.2　两条直线的交点坐标 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（四） Part 03 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 平行或重合 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 平行或重合 0 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 斜率(斜率存在时)或法向量 坐标 公共解 坐标 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课时作业（四） 点击进入word 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.理解两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线平行与垂直的判定方法．2.会判断两条直线是否相交，并能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 1.通过对两条直线位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养．2.通过求两直线的交点坐标，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　两条直线平行 [问题]　直线l1与直线l2的倾斜角分别是α1，α2，若l1∥l2，则α1与α2满足什么关系？ 答：α1＝α2. ►知识填空 两条平行直线与斜率之间的关系 (1)对于两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔ ． (2)若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为 eq \f(π,2)的直线，从而它们互相 ． k1＝k2且b1≠b2 eq \a\vs4\al([点睛]) (1)直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为(－B，A)，一个法向量为(A，B). (2)设l1：A1x＋B1 y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1，l2的法向量为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，那么l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0.　　 知识点二　两条直线垂直 [问题]　如果两条直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2? 答：一定有l1⊥l2. ►知识填空 两条直线垂直与斜率之间的关系 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴 ，即另一条直线的斜率为 ． 　 eq \a\vs4\al([点睛]) 设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识点三　两条直线的交点坐标 [问题1]　直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的解有什么样的关系？ 答：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之，直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标． ►知识填空 两条直线相交的判断及交点坐标的求法 对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，我们可以用直线的 先定性判断两条直线是否相交．若相交，则两条直线l1，l2交点的 就是两个方程的 ，因此，可通过求解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))得到两条直线l1，l2的交点 ． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等.(　　) (2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行．(　　) (3)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1.(　　) (4)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　) A． eq \f(1,3)　　　　　 B．－ eq \f(1,3) C．2 D．－2 答案：B 3．过点(1，0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案：C 4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________． 解析：设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴k＝ eq \f(3＋λ,1－λ)＝－2，解得λ＝5. ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 答案：2x＋y－4＝0 题型一　两条直线平行与垂直的判定及应用 [例 1]　a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0，(1)平行；(2)垂直？ 解：法一：当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直； 当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝ eq \f(－1＋a,2)，b1＝2； 直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝ eq \f(1,a)，b2＝－ eq \f(1,a). (1)当两直线平行时， 由k1＝k2，b1≠b2，即 eq \f(1,a)＝ eq \f(－1＋a,2)，a≠－ eq \f(1,2)， 解得a＝－1或a＝2. 所以当a＝－1或2时，两直线平行． (2)当两直线垂直时， 由k1·k2＝－1，即 eq \f(1,a)· eq \f((－1＋a),2)＝－1， 解得a＝ eq \f(1,3). 所以当a＝ eq \f(1,3)时，两直线垂直． 法二：直线(a－1)x－2y＋4＝0的一个法向量为 n1＝(a－1，－2) 直线x－ay－1＝0的一个法向量为n2＝(1，－a)， (1)由n1∥n2得－a×(a－1)－1×(－2)＝0解得a＝2或a＝－1，经验a＝2或a＝－1时两条直线不重合，故所求a的值为2或－1. (2)两条直线垂直⇔n1·n2＝0.即1×(a－1)＋(－2)(－a)＝0，解得a＝ eq \f(1,3). [反思感悟] 1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法 (1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后则k1＝k2，且b1≠b2；若都不存在则还要判定不重合． (2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0.)) 2. 根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法 (1)若一个斜率为零，则另一个不存在，即垂直x轴．若两个都存在斜率，则化成斜截式后k1k2＝－1. (2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，第二种方法可避免讨论，减小失误． 1．(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k＝(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．5 解析：选CD　k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，显然平行； k＝4时，l1：x＋1＝0，l2：2x－2y＋3＝0，显然不平行； k≠3且k≠4时，要使l1∥l2，应用 eq \f(k－3,2(k－3))＝ eq \f(4－k,－2)≠ eq \f(1,3)⇒k＝5. 综上所述k＝3或5，故选CD. 2．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p＝(　　) A．24 B．20 C．0 D．－4 解析：选B　因为两直线互相垂直，所k1·k2＝－1， 所以－ eq \f(m,4)· eq \f(2,5)＝－1，所以m＝10. 又因为垂足为(1，p)，所以代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，所以m－n＋p＝20. 题型二　过两直线交点的直线方程 [例 2]　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 解：法一(直接法)： 解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5)，)) 所以两直线的交点坐标为 又因为所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3， 故所求直线方程为15x＋5y＋16＝0. 法二(待定系数法)：设所求直线为l， 因为直线l过已知两直线的交点，因此设直线l的方程为2x－3y－3＋μ(x＋y＋2)＝0(其中μ为常数)， 即(μ＋2)x＋(μ－3)y＋2μ－3＝0. 又直线l与直线3x＋y－1＝0平行， 所以－ eq \f(μ＋2,μ－3)＝－3且 eq \f(μ＋2,3)≠ eq \f(2μ－3,－1)， 解得μ＝ eq \f(11,2). 将μ＝ eq \f(11,2)代入上式，并整理，得15x＋5y＋16＝0即为所求． [反思感悟] 解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线的交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是采用过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据平行条件求待定系数． 1．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　) A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0 C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0 解析：选B　由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋y－1＝0，,x＋2y－7＝0，))得交点(－1，4). 因为所求直线与3x＋y－1＝0垂直， 所以所求直线斜率k＝ eq \f(1,3)， 所以y－4＝ eq \f(1,3)(x＋1)， 即x－3y＋13＝0. 2．(变条件)在本例2中将“与直线3x＋y－1＝0平行”改为“与直线3x＋y－1＝0垂直”，其他不变，如何求？ 解：两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为 又与直线3x＋y－1＝0垂直，故所求直线的斜率为 eq \f(1,3)，即所求直线的方程为y＋ eq \f(7,5)＝，即5x－15y－18＝0. 题型三　直线过定点问题 [例 3]　求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点． 证明：法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3， 故l1与l2的交点为P(－3，3). 将点P(－3，3)代入方程左边， 得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3， ∴点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上． ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3). 法二(分离参数法)：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0. 则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点． 由方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－y＋6＝0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝3.)) ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3). [反思感悟] 解含有参数的直线恒过定点问题的两种方法 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).　　 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 解：(1)证明：直线l的方程可化为y－ eq \f(3,5)＝，所以不论a取何值，直线l恒过定点，又点A在第一象限，所以不论a取何值，直线l恒过第一象限． (2)令x＝0，y＝ eq \f(3－a,5)，由题意， eq \f(3－a,5)≤0， 解得a≥3. 所以a的取值范围为[3，＋∞). [课堂小结] 1．两直线平行或垂直的判定方法 斜率 位置关系 斜率均不存在 平行或重合 一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在 垂直 斜率均存在 相等 平行或重合 积为－1 垂直 2.方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的主要条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2). 3．利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，要对字母进行分类讨论． $$