第1章 1.3 第2课时 直线方程的一般式和直线方程的点法式（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第一章　直线与圆 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 §1　直线与直线的方程 §1.3　直线的方程 第2课时　直线方程的一般式和直线方程的点法式 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（三） Part 03 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 垂直 方向 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课时作业（三） 点击进入word 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系．2.能根据所给条件求直线的方程，并能在几种形式间相互转化．3.理解直线方程的点法式，并能灵活应用． 1.通过直线方程的一般式、点法式的学习，培养数学抽象的核心素养．2.在求直线方程的过程中提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　直线方程的一般式 [问题1]　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？ 答：能． [问题2]　平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 答：可以． [问题2]　平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 答：可以． [问题3]　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？ 答：一定． ►知识填空 直线方程的一般式 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． (2)斜率：当B≠0时，直线的斜率为 ，在y轴上的截距 ，当B＝0时，这条直线垂直于x轴，不存在斜率． － eq \f(A,B) － eq \f(C,B) 知识点二　直线方程的点法式 [问题1]　给定直线l的法向量唯一吗？ 答：不唯一 [问题2]　直线l经过点P(1，2)，且它的一个法向量为n＝(3，4)，如何求直线l的方程呢？ 答：设l上任意一点M(x，y)，则 eq \o(PM,\s\up15(→))⊥n，故3(x－1)＋4(y－2)＝0为所求的直线方程． ►知识填空 1．直线的法向量 与方向向量 的向量称为直线的法向量，直线的法向量和方向向量都反映了直线的 ． 2．直线方程的点法式 若直线l经过点P(x0，y0)，且一个法向量为n＝(A，B)，则直线l的方程的点法式为 ． A(x－x0)＋B(y－y0)＝0 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．(　　) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式.(　　) (3)直线经过点(x0，y0)且一个方向向量为r＝(A，B)，则该直线的方程式为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．直线 eq \f(x,3)＋ eq \f(y,4)＝1化为一般式方程为(　　) A．y＝－ eq \f(4,3)x＋4 B．y＝－ eq \f(4,3)(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 答案：C 3．在直角坐标系中，直线x＋ eq \r(3)y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30°　　　　　　B．60° C．150° D．120° 解析：选C　直线斜率k＝－ eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为150°. 4．若直线l经过点P(－2，－1)且一个法向量为n＝(6，8)，则直线l的一般式方程为________． 答案：3x＋4y＋10＝0 题型一　求直线方程的一般式、点法式 [例 1]　根据下列条件求解直线的一般式方程． (1)斜率是 eq \r(3)，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过点A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1； (5)直线l经过点A(1，－2)且与P1(－1，0)，P2(3，2)两点的连线垂直． 解：(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝ eq \r(3)(x－5)， 即 eq \r(3)x－y－5 eq \r(3)＋3＝0. (2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. (3)由两点式，得直线方程为 eq \f(y－5,－1－5)＝ eq \f(x－(－1),2－(－1))， 即2x＋y－3＝0. (4)由截距式，得直线方程为 eq \f(x,－3)＋ eq \f(y,－1)＝1， 即x＋3y＋3＝0. (5)直线l的一个法向量 eq \o(P1P2,\s\up6(→))＝(4，2)，由直线方程的点法式得4(x－1)＋2(y＋2)＝0，即一般式方程为2x＋y＝0. [反思感悟] 直线方程互化的几个关注点 (1)直线的一般式可以表示任何直线，但特征不明显，解决问题时，把直线的一般式化成其他形式． (2)求直线的一般式方程，通常根据题中的条件求出对应形式的方程，再化为一般式． 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率为3，且经过点A(1，2)； (2)过点B(－3，0)，且垂直于x轴； (3)斜率为－2，在y轴上的截距为3； (4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴； (5)经过点(1，2)与直线x＋2y＝0垂直． 解：(1)由点斜式方程得y－2＝3(x－1)，整理得3x－y－1＝0. (2)x＝－3，即x＋3＝0. (3)y＝－2x＋3，即2x＋y－3＝0. (4)y＝3，即y－3＝0. (5)由x＋2y＝0得y＝－ eq \f(1,2)x，即该直线的斜率为k＝－ eq \f(1,2)，即一个方向向量r＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)))为所求直线的一个法向量，故所求直线方程为1×(x－1)－ eq \f(1,2)(y－2)＝0，即2x－y＝0. 题型二　直线方程一般式的应用 [例 2]　(1)若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　　) A．m≠0 B．m≠－ eq \f(3,2) C．m≠1 D．m≠1，m≠－ eq \f(3,2)，m≠0 (2)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. ①已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； ②已知直线l的斜率为1，求m的值． 解：(1)选C　因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0，不能同时成立，解得m≠1.选C. (2)①令y＝0，则x＝ eq \f(2m－6,m2－2m－3)， 所以 eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－ eq \f(5,3)或m＝3(舍去).所以m＝－ eq \f(5,3). ②由直线l化为斜截式方程得 y＝ eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋ eq \f(6－2m,2m2＋m－1)， 则 eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去). 所以m＝－2. [反思感悟] 已知含参数的方程求参数的值或 范围的步骤 设直线l的方程为x＋(a－1)y－2－a＝0，若直线l不过第三象限，则实数a的取值范围是________． 解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3.该直线不过第三角限，符合； ②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝ eq \f(1,1－a)x－ eq \f(2＋a,1－a)，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,1－a)≤0，,－\f(2＋a,1－a)≥0，))解得a＞1.由①②可知a≥1. 答案：[1，＋∞) [课堂小结] 1．直线方程的一般式与其他形式间的转化，比如Ax＋By＋C＝0化斜截式要注意讨论B≠0和B＝0两种情况． 2．直线方程的点法式是向量数量积的应用，不必讨论斜率的存在问题，但要明确直线的一个法向量． $$