第1章 1.3 第1课时 直线方程的斜点式和直线方程的两点式（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第一章　直线与圆 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 §1　直线与直线的方程 §1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式和直线方程的两点式 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（二） Part 03 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 坐标 坐标的点都在直线l上 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 y＝y0 x＝x0 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 课时作业（二） 点击进入word 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第一章　直线与圆 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会利用它们求直线的方程．2.掌握直线方程的两点式和截距式，会选择适当的形式求直线方程． 1.通过直线方程的几种形式的学习，培养直观想象、数学抽象的核心素养．2.通过选择适当的形式求直线的方程，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　直线方程的点斜式和斜截式 [问题1]　 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？ 答：由斜率公式得k＝ eq \f(y－y0,x－x0)，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0). [问题2]　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则直线l的方程是什么？ 答案：将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b. ►知识填空 1．直线的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的 都是一个方程的解，并且以这个方程的解为 ，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式和斜截式 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 点斜式 点P(x0，y0)和斜率k 斜率存在的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b 斜率存在的直线 y－y0＝ k(x－x0) y＝kx＋b 特殊地：直线l经过P(x0，y0).k＝0时l的方程为 ；k不存在时l的方程 ． 知识点二　直线方程的两点式和截距式 [问题1]　已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？ 答：因为x1≠x2，所以直线的斜率k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)，由直线的点斜式方程，得y－y1＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)(x－x1).因为y1≠y2，所以方程两边同除以y2－y1，得 eq \f(y－y1,y2－y1)＝ eq \f(x－x1,x2－x1). [问题2]　已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，如何求直线l的方程？ 答：将两点A(a，0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得 eq \f(y－0,b－0)＝ eq \f(x－a,0－a)，即 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1. ►知识填空 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 其中x1≠x2且y1≠y2 eq \f(y－y1,y2－y1)＝ eq \f(x－x1,x2－x1)其中x1≠x2，y1≠y2 斜率存在且不为0 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且ab≠0 与两坐标轴不平行且不过原点 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过点(x0，y0)、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成 eq \f(y－y0,x－x0)＝k.(　　) (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b即为一次函数的解析式．(　　) (3)过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程 eq \f(y－y1,y2－y1)＝ eq \f(x－x1,x2－x1)表示．(　　) (4)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　) A．2　　　　　　　　　　B．－1 C．3 D．－3 答案：C 3．经过点A(－3，2)，B(4，4)的直线的两点式方程为(　　) A． eq \f(y－2,2)＝ eq \f(x＋3,7) B． eq \f(y－2,－2)＝ eq \f(x－3,7) C． eq \f(y＋2,2)＝ eq \f(x－3,7) D． eq \f(y－2,x＋3)＝ eq \f(2,7) 解析：选A　由方程的两点式可得直线方程为 eq \f(y－2,4－2)＝ eq \f(x－(－3),4－(－3))，即 eq \f(y－2,2)＝ eq \f(x＋3,7). 4．直线y＝3x－2的斜率为________，在y轴上的截距为________． 解析：直线y＝3x－2的斜率为3，在y轴上的截距为－2. 答案：3　－2 5．过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________． 答案： eq \f(x,2)＋ eq \f(y,3)＝1 题型一　利用点斜式求直线的方程 [例 1]　(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5，2)且平行于y轴的直线方程为________． (3)求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ eq \f(1,\r(3)) x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 解析：(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5. (3)因为直线y＝ eq \f(1,\r(3)) x的斜率为 eq \f(1,\r(3))，所以倾斜角为30°. 所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为 eq \r(3). 所以所求直线的点斜式方程为y＋3＝ eq \r(3)(x－2). 答案：(1)y－5＝x－2　(2)x＝－5　(3)y＋3＝ eq \r(3)(x－2) [反思感悟] 求直线的点斜式方程的步骤 [提醒]　斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0. 求下列各条件下的直线方程． (1)经过点( eq \r(3)，－3)，倾斜角为30°的直线； (2)经过点(2，1)且垂直于y轴的直线； (3)经过点(－7，2)且平行于y轴的直线． 解：(1)由题意知：k＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3)， ∴直线方程为y－(－3)＝ eq \f(\r(3),3)(x－ eq \r(3)). 整理得y＋3＝ eq \f(\r(3),3)x－1，即y＝ eq \f(\r(3),3)x－4. (2)∵直线垂直于y轴，∴直线斜率为0， ∴方程为y＝1. (3)∵直线平行于y轴，∴直线斜率不存在， ∴方程为x＝－7. 题型二　利用斜截式求直线的方程 [例 2]　根据条件写出下列直线方程的斜截式． (1)斜率为－ eq \f(4,3)，在y轴上截距为－2； (2)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程的斜截式为y＝－ eq \f(4,3)x－2. (2)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝ eq \r(3)， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程的斜截式为y＝ eq \r(3)x＋3或y＝ eq \r(3)x－3. [反思感悟] 已知直线的斜率与y轴上的截距，可直接写出直线的方程；已知直线的斜截式方程，可得直线的斜率与y轴上的截距．直线的斜截方程形式简单，特点明显，是运用较多的直线方程的形式之一．　 1．已知直线l的斜率为 eq \f(1,6)，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则l的斜截式方程为________． 解析：设直线方程为y＝ eq \f(1,6)x＋b， 则当x＝0时，y＝b； y＝0时，x＝－6b. 由已知可得 eq \f(1,2)·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线l的斜截式方程为y＝ eq \f(1,6)x＋1或y＝ eq \f(1,6)x－1. 答案：y＝ eq \f(1,6)x＋1或y＝ eq \f(1,6)x－1 2．求倾斜角是直线y＝ eq \r(3)x＋1的倾斜角的 eq \f(1,2)，且满足在y轴上的截距是－3的直线方程． 解：因为直线的方程为y＝ eq \r(3)x＋1， 所以k＝ eq \r(3)，倾斜角为60°， 由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为 eq \f(\r(3),3). 因为所求直线在y轴上的截距为－3， 所以由斜截式知所求直线方程为y＝ eq \f(\r(3),3)x－3. 题型三　直线方程的两点式和截距式 [例 3]　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________． (3)直线l过点(－3，3)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． 答案：(1)x＝2　(2)－2　(3)见解析 解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2. (2)由直线方程的两点式得 eq \f(y－(－1),4－(－1))＝ eq \f(x－2,－3－2)，即 eq \f(y＋1,5)＝ eq \f(x－2,－5). ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， ∵点P(3，m)在直线AB上， 则m＋1＝－3＋2，得m＝－2. (3)由题意设直线l的方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1，由a＋b＝12，① 又直线l过点(－3，3)，所以 eq \f(－3,a)＋ eq \f(3,b)＝1，② 联立①②解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3\r(5)＋3，,b＝－3\r(5)＋9))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－3\r(5)＋3，,b＝3\r(5)＋9，))故所求的直线方程为 eq \f(x,3\r(5)＋3)＋ eq \f(y,－3\r(5)＋9)＝1或 eq \f(x,－3\r(5)＋3)＋ eq \f(y,3\r(5)＋9)＝1. [反思感悟] 利用两点式求直线方程 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 　已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解：(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得 eq \f(y－(－4),－2－(－4))＝ eq \f(x－5,0－5)，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5). (2)设BC的中点M(a，b)， 则a＝ eq \f(5＋0,2)＝ eq \f(5,2)，b＝ eq \f(－4＋(－2),2)＝－3， 所以M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－3))，又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以 eq \f(y－2,－3－2)＝ eq \f(x－(－3),\f(5,2)－(－3))， 即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. [课堂小结] 1．本节课重点学习了直线方程的四种形式，注意各形式方程的适用范围，灵活选用方程的形式求解． 2．与直线的截距、斜率有关问题的注意点 (1)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零． (2)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论． $$