第十三章 三角形 章节（6知识点回顾+22题型巩固）（讲义）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第十三章 三角形 章节（6知识点回顾+22题型巩固） 目录 知识梳理 1．三角形 2．三角形三边关系 3．三角形的角平分线、中线和高 4．三角形内角和定理 5．三角形的外角 6．直角三角形的性质与判定 题型巩固 一、三角形的识别与有关概念 二、三角形的个数问题 三、三角形的分类 四、构成三角形的条件 五、确定第三边的取值范围 六、三角形三边关系的应用 七、三角形的稳定性及应用 八、四边形的不稳定性 九、根据三角形中线求长度 十、根据三角形中线求面积 十一、重心的概念 十二、三角形角平分线的定义 十三、画三角形的高 十四、与三角形的高有关的计算问题 十五、三角形内角和定理的证明 十六、与平行线有关的三角形内角和问题 十七、与角平分线有关的三角形内角和问题 十八、三角形折叠中的角度问题 十九、三角形内角和定理的应用 二十、直角三角形的两个锐角互余 二十一、锐角互余的三角形是直角三角形 二十二、三角形的外角的定义及性质 知识梳理 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形具有稳定性． （4）三角形的重心是三角形三边中线的交点． 知识点2．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点3．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点4．三角形内角和定理 1. 三角形的内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠ C=180° 2. 三角形内角和定理的操作探究 如图13.3 -1 ① ②，把△ ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△ ABC 三个内角的和等于180 °. 3. 三角形内角和定理的证明思路 证明思路 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 知识点5．三角形的外角 1. 三角形的外角：如图13.3 -7 ①，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 特别提醒：如图13.3 -7 ②，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角. 2. 外角性质(三角形内角和定理的推论) 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：如图13.3 -7 ①，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B. 3. 三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和. 三角形的外角和为360 °. 如图13.3 -8，∠1＋∠2＋∠3＝360 °. 知识点6．直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC. 2.直角三角形的性质与判定 文字语言 几何语言 图形 性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt △ ABC 中， ∵ ∠ C=90°， ∴∠ A＋ ∠ B=90° 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ ABC 中， ∵ ∠ A＋∠ B=90°，∴∠ C=90°， 即△ABC是直角三角形 题型巩固 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 题型二、三角形的个数问题 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图中共有三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（2023八年级上·全国·专题练习）图中共有三角形 个，其中以为边的三角形有 个．    题型三、三角形的分类 5．（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 题型四、构成三角形的条件 7．（24-25八年级上·西藏山南·期末）以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 题型五、确定第三边的取值范围 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是 ． 10．已知三角形两边的长分别为，第三边的长为整数，则第三边的长为 ． 题型六、三角形三边关系的应用 11．（24-25八年级上·广西钦州·期中）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 12．若一个三角形的两边长分别是2和3，第三边的长为奇数．则第三边的长为 ． 题型七、三角形的稳定性及应用 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有 的特性． 14．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的 ． 题型八、四边形的不稳定性 15．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下面图形中，具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 16．（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 题型九、根据三角形中线求长度 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 18．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 题型十、根据三角形中线求面积 19．（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 题型十一、重心的概念 21．如图，在ABC中，点O是ABC的重心，则AD为三角形的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 题型十二、三角形角平分线的定义 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 题型十三、画三角形的高 25．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 题型十四、与三角形的高有关的计算问题 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 28．（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 题型十五、三角形内角和定理的证明 29．已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 30．现在通过平行线的性质于平角的定义证明“三角形的内角和等于180°”这个结论、 已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：过点A作直线l，使l//BC， ∵l//BC， ∴∠2＝∠4（         ） 同理∠3＝ ， ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（        ） ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（       ） 题型十六、与平行线有关的三角形内角和问题 31．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 32．如图，是的平分线，，交于点，，，求的度数． 题型十七、与角平分线有关的三角形内角和问题 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，为三角形的角平分线，交于点D，求的度数． 题型十八、三角形折叠中的角度问题 35．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 36．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝ ． 题型十九、三角形内角和定理的应用 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，D是边上一个动点，当 时，是直角三角形． 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，．求x的值． 题型二十、直角三角形的两个锐角互余 39．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 40．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，，交于点O，与有什么关系？ 题型二十一、锐角互余的三角形是直角三角形 41．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型二十二、三角形的外角的定义及性质 42．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，，，点D在边上，，和相交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形 章节（6知识点回顾+22题型巩固） 目录 知识梳理 1．三角形 2．三角形三边关系 3．三角形的角平分线、中线和高 4．三角形内角和定理 5．三角形的外角 6．直角三角形的性质与判定 题型巩固 一、三角形的识别与有关概念 二、三角形的个数问题 三、三角形的分类 四、构成三角形的条件 五、确定第三边的取值范围 六、三角形三边关系的应用 七、三角形的稳定性及应用 八、四边形的不稳定性 九、根据三角形中线求长度 十、根据三角形中线求面积 十一、重心的概念 十二、三角形角平分线的定义 十三、画三角形的高 十四、与三角形的高有关的计算问题 十五、三角形内角和定理的证明 十六、与平行线有关的三角形内角和问题 十七、与角平分线有关的三角形内角和问题 十八、三角形折叠中的角度问题 十九、三角形内角和定理的应用 二十、直角三角形的两个锐角互余 二十一、锐角互余的三角形是直角三角形 二十二、三角形的外角的定义及性质 知识梳理 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形具有稳定性． （4）三角形的重心是三角形三边中线的交点． 知识点2．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点3．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点4．三角形内角和定理 1. 三角形的内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠ C=180° 2. 三角形内角和定理的操作探究 如图13.3 -1 ① ②，把△ ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△ ABC 三个内角的和等于180 °. 3. 三角形内角和定理的证明思路 证明思路 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 知识点5．三角形的外角 1. 三角形的外角：如图13.3 -7 ①，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 特别提醒：如图13.3 -7 ②，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角. 2. 外角性质(三角形内角和定理的推论) 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：如图13.3 -7 ①，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B. 3. 三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和. 三角形的外角和为360 °. 如图13.3 -8，∠1＋∠2＋∠3＝360 °. 知识点6．直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC. 2.直角三角形的性质与判定 文字语言 几何语言 图形 性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt △ ABC 中， ∵ ∠ C=90°， ∴∠ A＋ ∠ B=90° 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ ABC 中， ∵ ∠ A＋∠ B=90°，∴∠ C=90°， 即△ABC是直角三角形 题型巩固 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形， 故选：A． 2．（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】有5个三角形，分别是 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题主要考查了三角形的定义及其表示．根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可． 【详解】解：图中共有5个三角形，分别是． 题型二、三角形的个数问题 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图中共有三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握三角形的定义和按一定规律数是解决本题的关键．根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数． 【详解】图中有：，，，，，共个， 故选：B． 4．（2023八年级上·全国·专题练习）图中共有三角形 个，其中以为边的三角形有 个．    【答案】 8 2 【知识点】三角形的个数问题 【分析】根据三角形的定义即可求解． 【详解】解：（1）①，，，共3个； ②，，2个； ③，，2个； ④，1个； 综上，图中共有共8个三角形； （2）以为边的三角形有：，，2个； 故答案为：8，2． 【点睛】本题考查三角形的个数问题，解题的关键掌握三角形的定义． 题型三、三角形的分类 5．（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类情况可得答案． 此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握三角形的分类一种是按边分类，另一种按角分类． 【详解】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】等边三角形有，等腰三角形． 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，根据等边三角形和等腰三角形的定义，对各个三角形逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴等边三角形有，等腰三角形． 题型四、构成三角形的条件 7．（24-25八年级上·西藏山南·期末）以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，，，所以3，4，5满足三边关系，故能构成三角形； B、因为，两边之和等于第三边，所以4，4，8不满足三边关系，故不能构成三角形； C、因为，两边之和等于第三边，所以3，7，10不满足三边关系，故不能构成三角形； D、因为，两边之和小于第三边，所以10，4，5不满足三边关系，故不能构成三角形． 故选：A ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【答案】有两种选法，理由见解析 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 题型五、确定第三边的取值范围 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴a的取值范围是：，即． 故答案为：． 10．已知三角形两边的长分别为，第三边的长为整数，则第三边的长为 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边取值范围，结合第三边长为整数解题． 【详解】解：三角形两边的长分别为，令第三边长为， ， ， 第三边的长为整数， ， 即第三边长为． 题型六、三角形三边关系的应用 11．（24-25八年级上·广西钦州·期中）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和8， 设第三边长c为奇数 ∴，即， ∴． 故选：C． 12．若一个三角形的两边长分别是2和3，第三边的长为奇数．则第三边的长为 ． 【答案】3 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系可得，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，第三边x的范围是：，即， ∵第三边长是奇数， ∴第三边是3， 故答案为：3． 题型七、三角形的稳定性及应用 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有 的特性． 【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．固定在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有稳定性的特性． 故答案为：稳定性 ． 14．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的 ． 【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性，利用三角形的稳定性，进行作答即可． 【详解】解：斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 题型八、四边形的不稳定性 15．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下面图形中，具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据几何图形的基本性质，三角形具有稳定性，而其他多边形不具备这一特性． 【详解】解：三角形是最稳定的几何图形，因为当三边长度确定时，其形状和大小唯一确定，无法变形．而四边形（如正方形）、五边形、六边形等边数超过3的多边形，在边长确定的情况下仍可能发生形变，因此不具备稳定性． 故选A． 16．（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 题型九、根据三角形中线求长度 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 18．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 题型十、根据三角形中线求面积 19．（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，且的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 【答案】15 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 连接，利用、是中点的性质，得出多组等面积三角形，通过面积的等量代换，结合四边形的面积，推导出的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 题型十一、重心的概念 21．如图，在ABC中，点O是ABC的重心，则AD为三角形的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线 【答案】C 【知识点】重心的概念 【分析】根据重心的定义：三角形三边中线的交点，即可求解. 【详解】解：根据重心的定义：三角形三边中线的交点为三角形的重心 故选C. 【点睛】本题主要考查了重心的定义，解题的关键在于能够熟练掌握重心的定义. 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 【答案】问题1：见解析；问题2：见解析 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查三角形的重心，四边形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，是解题的关键： 问题1：分两种情况画出图形，根据重心的定义，画图即可； 问题2：延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 【详解】解：问题1：①如答图①所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点F．由题意可得，这两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形，而这个长方形也可由和拼成，易知这两个三角形的重心都在上，则线段与的交点G就是长方形的重心． ②如答图②所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点N，连接．易知和的重心都在上，所以四边形的重心是线段与的交点G． 问题2：（所作直线不唯一）如答图③，延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 理由：因为经过多边形重心的任一直线都将这个多边形分成面积相等的两部分，所以既平分长方形又平分长方形，故将该图形分成面积相等的两部分． 题型十二、三角形角平分线的定义 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型十三、画三角形的高 25．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是关键．由三角形的高的定义容易得出结论． 【详解】解：由三角形的高的定义可知， 在中，于C， ∴是中边上的高， 故选：C． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角形的高的定义．根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （2）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （3）解：在中，边上的高是． 故答案为：． 题型十四、与三角形的高有关的计算问题 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查三角形的高的特征．分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时． 【详解】解：①当D在线段上时，如图1，； ②当D在线段的延长线上时，如图2，． 故答案为：或． 28．（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 【详解】解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 题型十五、三角形内角和定理的证明 29．已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】直接根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60， ∴∠B＝30， 故选：A． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质两锐角互余解答． 30．现在通过平行线的性质于平角的定义证明“三角形的内角和等于180°”这个结论、 已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：过点A作直线l，使l//BC， ∵l//BC， ∴∠2＝∠4（         ） 同理∠3＝ ， ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（        ） ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（       ） 【答案】两直线平行，内错角相等；∠5；平角定义；等量代换 【知识点】三角形内角和定理的证明 题型十六、与平行线有关的三角形内角和问题 31．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】利用平行线的性质求出∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠BCD，再根据平行线的性质求出∠CDE即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB=80°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=40°， ∵DE∥CB， ∴∠CDE=∠BCD=40°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟握平行线的性质解决问题． 32．如图，是的平分线，，交于点，，，求的度数． 【答案】∠A=45° 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】首先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据角平分线的性质求出∠CBD的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠A的度数即可． 【详解】解：∵DE∥CB， ∴∠BED+∠ABC=180°， ∵∠BED=150°， ∴∠ABC=30°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴， ∵∠BDC=60°， ∴∠C=105°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠C=45°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关定理，正确识图，求得∠C的度数是解题关键． 题型十七、与角平分线有关的三角形内角和问题 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，先证明，，，进一步利用三角形的内角和定理即可求解. 【详解】解：∵的三条角平分线的交点为点D， ∴，，， ∵， ∴； 故选：B 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，为三角形的角平分线，交于点D，求的度数． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，角平分线求出的度数，根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：因为，平分， 所以． 又因为，， 所以， 所以． 题型十八、三角形折叠中的角度问题 35．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 36．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝ ． 【答案】38° 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据翻折变换的性质求出∠CED的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDE． 【详解】解：∵将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处， ∴∠CED=∠A， ∵∠ACB=90°，∠B=26°， ∴∠A=64°， ∴∠CED=64°， ∴∠BDE=64°-26°=38°； 故答案为：38°． 【点睛】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键． 题型十九、三角形内角和定理的应用 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，D是边上一个动点，当 时，是直角三角形． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，求直角三角形的内角的度数，关键是分类讨论直角有两种可能． 是直角三角形，直角有两种可能，①，②，据此可得出的度数． 【详解】解：，是直角三角形，有两种可能： ①当， ∵， ∴． ②当， 综上，或． 故答案为：或． 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，．求x的值． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，由题意利用三角形内角和定理求出，由，求出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ，即， ∵， ∴， ∴，即． 题型二十、直角三角形的两个锐角互余 39．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握同角的余角相等．根据得到，根据，得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 40．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，，交于点O，与有什么关系？ 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，对顶角的性质，根据已知结合对顶角相等，利用直角三角形两锐角互余即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 题型二十一、锐角互余的三角形是直角三角形 41．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 题型二十二、三角形的外角的定义及性质 42．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，，，点D在边上，，和相交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．由三角形外角的性质可得，再结合求解即可． 【详解】解：是的外角， ， ， ， 故选：B． 43．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角求出，角平分线，求出的度数，再根据三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$