第2章 第11节 实际问题中的函数模型-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

第十一节　实际问题中的函数模型 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 学习要求 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　指数、对数、幂函数模型性质比较 　　　　函数 性质　　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点二　几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函 数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函 数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 与指数函数 相关的模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与对数函数 相关的模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与幂函数 相关的模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 1.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是(　　) A.f(x)>g(x)>h(x)　　　 B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) B 自我评价 解析:由图象(图略)知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x). 2. 某校拟用一种喷雾对宿舍进行消毒,需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位:毫克)与时间x(单位:时)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图所示的散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是(　　) A.y=ax+b B.y=a·+b(a>0) C.y=xa+b(a>0) D.y=ax+(a>0,b>0) B 解析:由题图可知,函数在(0,+∞) 上单调递减,且散点分布在一条曲线附近,函数y=a·+b 的图象为一条曲线,且当a>0 时,该函数单调递减,符合题意. 3.某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y=xa(a为常数),其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元.若今年投入广告费用5万元,预计今年药品利润为　　　　万元.  解析:由已知投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,代入y=xa中,得3a=27,解得a=3,故函数解析式为y=x3,所以当x=5时,y=125. 125 4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为　　　　　.(参考数据: ≈1.259,结果保留一位小数)  0.8 解析:由题意知4.9=5+lg V, 得lg V=-0.1, 得V=≈0.8, 所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 关键能力　重点探究 [例1]　现有一组关于速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的实验数据如表: 用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　) A.v=log2t　　　 B.v=t C.v= D.v=2t-2 t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18 v 1.5 4.02 7.5 12 18.3 C 考点一　幂、指、对函数增长速度问题 [解析]　从表中数据的变化趋势看,函数递增的速度不断加快, A项,是对数函数模型,其递增速度越来越慢,不符合题意; B项,随着t的增大,v变小,不符合题意; C项,是二次函数模型,对比数据,其最接近实验数据的变化趋势,符合题意; D项,是一次函数模型,增长速度不变,不符合题意. 跟踪训练 (2025·江苏泰州模拟)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　) A.y=mx2+n(m>0) B.y=max+n(m>0,0<a<1) C.y=max+n(m>0,a>1) D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1) 解析:由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1. 答案:B [例2]　汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查,测得甲车的刹车距离略超过6 m,乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲车的刹车距离S甲 m与车速v km/h之间的关系为S甲=v2-v,乙车的刹车距离S乙 m与车速v km/h之间的关系为S乙=v2-v.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象(　　) 考点二　已知函数模型的实际问题 A.甲、乙两车均超速 B.甲车超速但乙车未超速 C.乙车超速但甲车未超速 D.甲、乙两车均未超速 [答案]　C [解析]　对于甲车,令v2-v≈6,即v2-10v-600≈0, 解得v≈-20 km/h(舍)或v≈30 km/h,所以甲未超速; 对于乙车,令v2-v≈10,即v2-10v-2 000≈0, 解得v≈-40 km/h(舍)或v≈50 km/h,所以乙超速. 方法总结 求解已知函数模型解决实际问题的关键 1.认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. 2.根据已知,利用待定系数法确定模型中的待定系数. 3.利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验. 跟踪训练 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位: ℃)满足函数关系y=(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是100小时,在10 ℃的保鲜时间是60小时,则该食品在20 ℃的保鲜时间是(　　) A.20小时 B.24小时 C.32小时 D.36小时 D 解析:由题意可得eb=100,=60, 可得e10k=, 故当x=20时,y==()2·eb =×100=36, 即该食品在20 ℃的保鲜时间是36小时. [例3]　某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万元) 项目类别 年固定 成本 每件产 品成本 每件产品 销售价 每年最多可 生产的件数 A产品 20 m 10 200 B产品 40 8 18 120 考点三　构建基本初等函数模型的实际问题 其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,预计m∈[6,9],另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域. [解]　年销售量为x 件时,按利润的计算公式生产A,B两种产品的年利润y1,y2分别为y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,0≤x≤200且x∈N; y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120且x∈N. (2) 如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你做出规划. [解]　因为6≤m≤9,则10-m>0,故y1=(10-m)x-20 为增函数.又0≤x≤200 且x∈N, 所以当x=200 时,生产A产品获得最大年利润,最大年利润为(10-m)×200-20=1 980-200m(万元). 又y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120且x∈N, 所以当x=100 时,生产B产品的最大年利润为460万元. 综上,-=(1 980-200m)-460=1 520-200m, 令1 520-200m>0,得6≤m<7.6; 令1 520-200m=0,得m=7.6; 令1 520-200m<0,得7.6<m≤9. 综上,当6≤m<7.6 时,投资生产A产品200件可获得最大年利润; 当7.6<m≤9 时,投资生产B产品100件可获得最大年利润; 当m=7.6 时,投资生产A产品200件和投资生产B产品100件获得的最大年利润一样. 方法总结 构建基本初等函数包括构建一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型和构建y=ax+(a,b为常数,且ab>0)函数模型. 跟踪训练 某旅游开发公司在修复山体的同时开发新的游玩项目,全年需投入固定成本300万元,若该项目在2025年有游客x万人,则需另投入成本R(x)万元,且R(x)=该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客,该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展,每年给该游玩项目财政补贴10x万元. (1)求2025年该项目的利润W(x)(万元)关于游客人数x(万人)的函数关系式(利润=收入-成本). 解:该项目的门票收入为50x万元,财政补贴收入为10x万元,共60x万元收入, 则利润W(x)= 化简得W(x)= (2)当2025年的游客人数为多少时,该项目所获利润最大?最大利润是多少? 解: 当0<x≤5时,W(x)单调递增, W(x)max=W(5)=-25; 当5<x≤20时,对应二次函数的图象开口向下,对称轴为x=-=20, 则W(x)max=W(20)=200; 当x>20时,∵x+≥60, 当且仅当x=,即x=30时,等号成立, ∴W(x)max=W(30)=-30-+265=205. 综上,当2025年的游客人数为30万时,利润最大,最大利润为205万元. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.(2025·湖南益阳模拟)我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据,分别是小数记录与五分记录,如图所示(已隐去数据),其部分数据如下表: 小数 记录x 0.1 0.12 0.15 0.2 … ? … 1.0 1.2 1.5 2.0 五分 记录y 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3 A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 现有如下函数模型:①y=5+lg x,②y=5+lg,x表示小数记录数据,y表示五分记录数据,请选择最合适的模型解决如下问题:小明同学检测视力时,医生告诉他视力为4.7,则小明同学的小数记录数据为(参考数据: 10-0.3≈0.5,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8)(　　) A.0.3　　　　　　　　 B.0.5 C.0.7 D.0.8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题中数据可知,当x=1时,y=5,两个函数模型都符合; 当x=0.1时,由y=5+lg x,得y=5+lg 0.1=4,与表中的数据符合,而y=5+lg=5.1,与表中的数据不符,所以选择模型y=5+lg x更合适,此时令y=4.7,则lg x=-0.3,所以x=1≈0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.据统计,第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(单位:只)近似满足y=klog3(x+1),观测发现第2年越冬的白鹭有1 000 只,估计第5年越冬的白鹭有(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)(　　) A.1 530只 B.1 636只 C.1 830只 D.1 930只 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题意得y=klog3(x+1),且当x=2 时,y=1 000, 所以1 000=klog33,解得k=1 000, 所以当x=5 时,y=1 000×log36=1 000×(log33+log32)= 1 000×≈1 636. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型:t=-·ln(t为时间,单位为min,θ0为环境温度,θ1为物体初始温度,θ 为冷却后温度,单位为 ℃).假设一杯热水的初始温度θ1=90 ℃,环境温度θ0=10 ℃,常数k=,则水温降为40 ℃大约经过(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)(　　) A.8 min B.7 min C.6 min D.5 min C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题意知,t=-6ln=-6ln=-6(ln 3-ln 8)=-6(ln 3-3ln 2)≈ -6×(1.1-3×0.7)=6(min). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.某检测分析是用荧光定理PCR法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR扩增进程中指数级增加的靶标DNA实时监测,在PCR扩增时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA的数量X与扩增次数n满足lg X=nlg(1+p)+lg X0,其中X0为DNA的初始数量,p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后,数量变为原来的1 000倍,则扩增效率p约为(参考数据:100.25≈1.778, 10-0.25≈0.562)(　　) A.22.2% B.43.8% C.56.2% D.77.8% D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题意知,lg(1 000X0)=12lg(1+p)+lg X0, 即lg 103+lg X0=12lg(1+p)+lg X0, 即3+lg X0=12lg(1+p)+lg X0, 所以1+p=100.25≈1.778, 解得p≈0.778=77.8%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.心理学家经常用函数L(t)=A(1-e-kt)测定时间t(单位:min)内的记忆量L,其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.已知一个学生在5 min内需要记忆200个单词,而他的记忆量为20个单词,则该生的记忆率k约为(ln 0.9≈ -0.105,ln 0.1≈-2.303)(　　) A.0.021 B.0.221 C.0.461 D.0.661 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题意可得20=200(1-e-5k), 则e-5k==0.9, 两边取以e为底的对数并整理得k=≈0.021. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.火箭在发射时会产生巨大的噪声,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足d(x)=10lg.若人交谈时的声强级约为50 dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109,则火箭发射时的声强级约为(　　) A.130 dB B.140 dB C.150 dB D.160 dB B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设人交谈时的声强为x1, 则火箭发射时的声强为109x1, 则50=10lg, 解得x1=10-7, 则火箭发射时的声强为109×10-7=102, 将其代入d(x)=10lg中, 得d(102)=10lg=140(dB), 故火箭发射时的声强级约为140 dB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.某次购物节中,某电商对顾客实行购物优惠活动,优惠方案如下:(1)如果购物总额不超过50元,则不给予优惠;(2)如果购物总额超过50元但不超过100元,可以使用一张5元优惠券;(3)如果购物总额超过 100元但不超过300元,则按该次购物总额的9折优惠;(4)如果购物总额超过300元,其中300元内的按第(3)条给予优惠,超过 300元的部分给予8折优惠.某人购买了部分商品,则下列说法不正确的是(　　) A.如果购物总额为78元,则应付款73元 B.如果购物总额为228元,则应付款205.2元 C.如果购物总额为368元,则应付款294.4元 D.如果购物时一次性应付款442.8元,则购物总额为516元 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:若购物总额为78元, 则应付款78-5=73(元),故A正确; 若购物总额为228元, 则应付款228×0.9=205.2(元),故B正确; 若购物总额为368元,则应付款300×0.9+68×0.8=324.4(元),故C错误; 若购物时一次性应付款442.8元,则包含购物总额300元应付的270元,还有172.8元对应的购物额度=216(元),因此购物总额为300+216=516(元),故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(多选)某大型商场开业期间为吸引顾客,推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动,奖品为本商场现金购物卡,可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级,等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y=eax+b+k,三等奖比四等奖的面值多100元,比五等奖的面值多120元,且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍,则(　　 ) A.a=-ln 5 B.k=15 C.一等奖的面值为3 130元 D.三等奖的面值为130元 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题意可知,四等奖比五等奖的面值多20元, 所以=e-a==5, 则a=-ln 5,故A正确; 由(e3a+b+k)-(e4a+b+k)=e3a+b(1-ea)=100, 可知e3a+b=125. 因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍, 所以e4a+b+k=3(e5a+b+k), 解得k=5,故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三等奖的面值为e3a+b+k=125+5=130(元),故D正确; 由ea+b+k=e3a+b·e-2a+k=125×25+5=3 130, 故一等奖的面值为3 130元,故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(多选)已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积均为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lg nA来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数.现有以下几种说法,其中正确的是(　　) A.PA≥1 B.PA≤10 C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10 D.假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5<PA<5.5(注:lg 2≈0.3) BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:当nA=1时,PA=0,故A错误; 又nA·nB=1010,且nA,nB∈N+, ∴nA≤1010,∴PA≤lg 1010=10,故B正确; 若PA=1,则nA=10;若PA=2,则nA=100,故C错误; 设B菌的个数为nB=5×104, ∴nA==2×105,则PA=lg nA=5+lg 2. 又lg 2≈0.3,∴5<PA<5.5,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km,按交通法规限制50≤x≤100(单位:km/h),假设汽油价格是每升6元,汽车每小时耗油L,司机的工资是每小时46元.则这次行车的总费用的最低值是 　　　　　元.  600 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:行车所用时间t=h,由题意可得行车总费用为y=×6×+=+(50≤x≤100). y=+≥2=600,当且仅当=,即x=70 时,等号成立.所以当x=70 时,这次行车的总费用y 最低,最低费用为600元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为　　　　　级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 　　　　　倍.  6 10 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:M=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6. 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1,A2, 则9=lg A1-lg A0=lg,则=109, 5=lg A2-lg A0=lg,则=105,所以=104. 即9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(2025·重庆模拟)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位:克)的关系:当0≤x<7时,y是x的二次函数;当x≥7时,y=.测得的部分数据如表所示. x 0 2 6 10 … y -4 8 8 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解:当0≤x<7时,y是x的二次函数,设y=ax2+bx+c(a≠0). 由x=0,y=-4可得c=-4, 由x=2,y=8可得4a+2b=12,① 由x=6,y=8可得36a+6b=12,② 由①,②解得a=-1,b=8, 即y=-x2+8x-4(0≤x<7). 当x≥7时,y=,由x=10,y=可得m=8,即y=(x≥7). 综上可得,y= (1)求y关于x的函数关系式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳. 解: 当0≤x<7时,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12, 即当x=4时,y取得最大值12; 当x≥7时,y=单调递减,可得y≤3,即当x=7时,y取得最大值3. 综上所述,该新合金材料的含量x为4时,产品的性能达到最佳. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.(多选)某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,注射后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:时)之间的关系近似满足一段曲线,如图所示.据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,对治疗该病有效,则(　　) B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 A.a=3 B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C.注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时 答案:AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 解析:当t=1 时,y=4,即=4,解得a=3,且k=4, 所以y= 故A正确; 当4t=0.125,即t= 时,药物刚好起效, 当=0.125,即t=6时,药物刚好失效, 故药物有效时长为6-=5小时, 药物的有效时间不到6个小时,故B错误,D正确; 注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×=0.5(微克),故C 错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系的图象,根据图象判断:通话2 min,需付电话费　　　　　元;通话5 min,需付电话费　　　　　元;如果t≥3,那么电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式是　　 　　　.  3.6 6 y=1.2t(t≥3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题图知,通话2 min,需付电话费3.6元,通话5 min,需付电话费6元. 当t≥3时,设y=kx+b(k≠0),则有 解得∴t≥3时,y=1.2t. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.某企业为响应国家“节约用水”的号召,决定对污水进行净化再利用,以降低自来水的使用量.经测算,该企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位:万元)与设备的占地面积x(单位:平方米)成正比,比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位:万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)=(x>0).该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和为y(单位:万元). (1)要使y不超过7.2万元,求设备占地面积x的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解:由题意得y=0.2x+(x>0). 要满足题意,则y≤7.2, 即0.2x+≤7.2, 解得11≤x≤20. 即设备占地面积x的取值范围为[11,20]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当设备占地面积x为多少时,y的值最小? 解: y=0.2x+=+-1≥2-1=2-1=7, 当且仅当=,即x=15时,等号成立. 所以当设备占地面积为15平方米时,y的值最小. $$